He estado calculando los ángulos de un triángulo con lados a = 17, b = 6 y c = 15 utilizando la ley de los cosenos para encontrar el primer ángulo y luego la ley de los senos para encontrar los otros 2. Sigo la convención de nombrar los ángulos opuestos a estos lados A, B y C respectivamente. Aquí están mis resultados:
$ C = \arccos( \frac {6^2+17^2-15^2}{2(6)(17)}) = 60.647$ grados a 3 dígitos decimales.
$ B = \arcsin( \frac {6 \sin C}{15}) = 20.405$ grados a 3 dígitos decimales.
$ A = \arcsin( \frac {17 \sin B}{6}) = 81.051$ grados a 3 dígitos decimales.
Claramente, la suma de estos debería dar $180$ grados, pero da 162 grados a 3 cifras significativas. Asumiendo que no he cometido errores, el error parece bastante alto y me pregunto si alguien sabe por qué es así. Parece suficientemente alto como para cuestionar la validez de las leyes.
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Tal vez sea debido al caso ambiguo que surge al usar la Ley de los senos. ¿Por qué no haces la Ley de los Cosenos dos veces y restas de 180° para encontrar el tercer ángulo? No es necesario usar la Ley de los Senos aquí.
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Porque si hago eso, no está probando la exactitud de la ley. +1 porque la información y la pregunta son útiles.
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Las leyes son precisas y también lo es tu calculadora para los términos trigonométricos, pero el caso ambiguo es el problema
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Ten en cuenta que el error es de $18$ grados, que es solo la diferencia entre $81$ grados y $180-81=99$ grados. Esos ángulos tienen el mismo seno. Estás eligiendo el incorrecto.
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Hey Ross, felicidades por tus puntos de reputación, por cierto. En esencia, ¿no es escoger el "incorrecto" inherentemente relacionado con el caso ambiguo debido a sinx = sin(180-x)?
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Puedo ver que tiene sentido que la calculadora simplemente elija el primer ángulo mayor o igual a 0 que funcione. +1 por la información útil. @Ross Millikan
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@imranfat: La función del arcseno está definida (para que sea de un solo valor) para devolver valores entre $-90$ y $+90$ grados. Se cometió un error al pasar de $\sin A= ()$ a $A=\arcsin ()$. Esos no son equivalentes. Es lo mismo que pasar de $x^2=2$ a $x=\sqrt 2$ y omitir el signo $\pm$. La calculadora es útil y devolvió la respuesta correcta a la pregunta que se le hizo.
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Independientemente del caso ambiguo, recuerda que $\sin(\theta^\circ) = \sin(180^\circ - \theta^\circ)$. Por lo tanto, si calculas $\arcsin u = \theta^\circ$, entonces debes averiguar si $\theta^\circ$ o $180^\circ - \theta^\circ$ es el ángulo que realmente estás buscando. Los arcocosenos no tienen ese problema.