Estable la convergencia en distribución - problema de la martingala CLT (lema 3.1 en pasillo y Heyde)

Question

Soy estudiante de Hall y de Heyde libro (1980) teoría del límite de martingala. En su lema 3.1, parecen utilizar la identidad

\begin{equation} \mathrm{E}\left({\exp{(itZ)}\mathbb{1}A}\right) = \mathrm{E}\left(\varphi{Z}(t)\mathbb{1}A\right) \end{equation} donde $/$ es una variable aleatoria, $\varphi{Z}$ es la función característica de esta variable aleatoria, y sería muestra de un conjunto medible arbitraria $\mathbb{1}_A$ $A$. ¿Por qué está "bien"? ¿Es claro para $A=\Omega$ (es decir, todo el espacio), pero arbitraria $A$? ¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Fijar un número real $s$ y poitwise aproximada % función limitada $\exp(isZ)$por combinaciones lineales de funciones características. Suponiendo que la verdadera igualdad mostrada, obtendríamos una aplicación del teorema de convergencia dominada que cada $s$ y $t$, $$\varphi_Z(s+t)=\varphi_Z(t)\varphi_Z(s),$ $, que no es necesariamente el caso.

Parece que es no lo que Hall y Heyde el uso en su lema 3.1. De hecho, por el teorema 3.1., para demostrar que $S_{n,kn}\to Z$ estable, es suficiente para demostrar que $$\forall F\in\mathcal F,\forall t\in\mathbb R,\quad \lim{n\to\infty}\mathbb E[\exp(it S_{n,k_n})\chi_F]=\mathbb E[\exp(itZ)\chi_F].$ $