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Demostrando un límite básico

Estoy tratando de demostrar un límite básico: \lim_{n\to \infty}\frac{n^\alpha}{2^n}=0, \alpha>1 (Parece que esto debería estar aquí en alguna parte ya, pero yo no era capaz de encontrar a través de la búsqueda, yo posiblemente necesite ayuda con mis habilidades de búsqueda? :)

He aquí lo que encontré:

A) Hay \alpha poderes de n en el numerador (duh).

B) 2^n=(1+1)^n=1+n+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}+1

C) El mayor poder de n en el denominador es \lfloor\frac{n}{2}\rfloor (a partir del teorema del binomio)

D) por Lo tanto el poder de n en el denominador crece indefinidamente, mientras que en el numerador es siempre permanece \alpha.

Si estas son verdaderas, entonces se sigue que para algunos n_0 y todos los n>n_0, 2^n crece más rápido de lo n^\alpha y el límite se aproxima a cero.

Sin embargo, esto es muy vago y posiblemente falsa, y aquí es donde me quedé atrapado. Muchas gracias por la ayuda!

5voto

psychotik Puntos 171

En realidad, solo necesita modificar la parte C. Aunque2^n no crece tan rápido comon^{n/2}, aún podemos mostrar que2^n crece más rápido quen^{\alpha} para cualquier arreglo \alpha.

Corrige un entero positivom > \alpha. Luego, paran \geq m tenemos

ps

Esto ya confirma que$$2^n = (1+1)^n \geq \binom{n}{m} = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n^{m}}{m!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{m-1}{n}\right). crece más rápido que2^n para algunosC_{m} n^{m} siC_m > 0$ es grande. Entonces nosotros tenemos

ps

así la conclusión sigue por el lema exprimidor.

2voto

LC7 Puntos 172

Su afirmación de que el mayor poder de n en el denominador es r=\lfloor n/2 \rfloor no es cierto. Usted mismo puede comprobar que n^r realmente crece más rápido de lo 2^n.

En lugar de ello, se puede considerar que la relación de términos consecutivos de esta sucesión. \frac{(n+1)^{\alpha} }{2^{n+1} } \cdot \frac{2^n}{n^{\alpha}}= \frac{1}{2} \left( 1+ 1/n\right)^{\alpha}.

Por lo suficientemente grande como n, esta relación se mantiene a menos de, digamos, 3/4, lo que implica que hay una serie geométrica de razón común 3/4 (por lo que tiende a 0) que los límites de esta secuencia de arriba, y por el teorema del sándwich esta secuencia va a 0 así.

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