Intrigantes polinomios procedentes de un problema de física combinatoria

Question

De verdad $0<q<1$ , entero $n >0 $ y enteros $k\ge 0$ , defina $$[k, n]_q \equiv -\sum_{m=1}^{n} q^{m(k+1)} (q^{-n}; q)_m = -\sum_{m=1}^{n} q^{m(k+1)} \prod_{l=0}^{m-1} (1-q^{l-n})$$

donde $(\cdot\; ; q)_n$ es un $q$ -Símbolo del martillo neumático .

Estas funciones expresan los números exactos de ocupación de $k$ -nivel de energía en un gas ideal de Fermi con espectro equidistante y exactamente $n$ fermiones. (Para los físicos, $q$ es sólo $e^{-\Delta \epsilon/ kT}$ ).

Mis experimentos numéricos con Mathematica espectáculo hasta ahora :

1. Todo $[k, n]_q$ son polinomios en $q$ .
2. $0<[k, n]_q<1$ para $0<q<1$ .
3. $\lim\limits_{q\to 1} [k, n]_q = 0$ .
4. $\lim\limits_{q\to 0} [k, n]_q = \begin{cases} 1, & k < n \\ 0, & k \ge n \end{cases}$ .

Los puntos (2.) a (4.) se pueden demostrar desde el punto de partida de la física, pero estoy totalmente desconcertado con (1.). El producto de $l=0$ a $m-1$ contiene potencias negativas de $q$ por $n >l$ Sin embargo, se confabulan para cancelar en la suma final.

¿Por qué estas funciones son polinómicas? ¿Cuál sería la forma óptima de calcular sus coeficientes? ¿Existen propiedades matemáticas más profundas en ellos?

Contexto combinatorio . La definición original de "física combinatoria" de estos números puede escribirse como

$$[k, n]_q =\frac{\sum_{ \{ \nu_k \} } \nu_k q^{\sum_k k \nu_k} \delta_{n, \sum_k \nu_k}}{\sum_{ \{ \nu_k \} }q^{\sum_k k \nu_k} \delta_{n, \sum_k \nu_k}}$$

donde los índices de suma se ejecutan como $\nu_k=0,1$ para $k=0, 1, 2 \ldots$ . Las propiedades (2.)-(4.) se derivan fácilmente de esta definición. Se está preparando más contexto físico para el problema para su publicación, véase también un post relacionado en Física.SE .

Actualización : Un documento de física que describe estos polinomios ha sido publicado en arXiv incluye una referencia a esta cuestión.

Answer 1

Algunas indagaciones en la obra de Koekoek y Swarttouw El esquema de Askey de los polinomios ortogonales hipergeométricos y su $q$ -analógico revela que $[k,n]_q$ está relacionado con el Al-Salam-Carlitz I (véase la página 115 de Koekoek y Swarttouw). Más concretamente,

$$1-[k,n]_q={}_2\phi_1\left({{q^{-n},q}\atop{0}}; q, q^{k+1}\right)=(-1)^n q^{\frac{n}2(2k-n+3)}U_n^{(q^{-k-1})}\left(\frac1{q};q\right)$$

En particular, dejar que $S(n,k;q)=1-[k,n]_q$ existe la recurrencia de tres términos

$$S(n+1,k;q)=(1+q^{k+1}-q^{k-n})S(n,k;q)-q^{k+1}(1-q^{-n})S(n-1,k;q)$$

con las condiciones iniciales $S(0,k;q)=1,\quad S(1,k;q)=q^{k+1}-q^k+1$ .

A partir de la relación con los polinomios Al-Salam-Carlitz II (véase la página 116 de Koekoek y Swarttouw), tenemos otra expresión hipergeométrica básica:

$$1-[k,n]_q={}_2\phi_0\left({{q^n,\frac1{q}}\atop{-}}; \frac1{q}, q^{k-n+1}\right)$$

( Mathematica nota: lamentablemente Mathematica no tiene soporte para ${}_2\phi_0$ ... todavía).

También se puede obtener una identidad "inversa" invirtiendo el orden de la suma:

$$\begin{align*}1-[k,n]_q&=q^{n(k+1)}(q^{-n};q)_n\; {}_1 \phi_1\left({{q^{-n}}\atop{q^{-n}}};q,q^{-k}\right)\\&=(-1)^n q^{\frac{n}{2}(2k-n+1)}(q;q)_n\; {}_1 \phi_1\left({{q^{-n}}\atop{q^{-n}}};q,q^{-k}\right)\end{align*}$$

Actualizaré este post si consigo sacar más información...

Answer 2

Espero que esto no vaya en contra de las reglas aquí, pero quería publicar un resumen más permanente de la lluvia de ideas que tuvo lugar en los comentarios a la pregunta.

• J.M. propuesta de escritura

$$[k,n]_q = -\sum_{m=1}^n \prod_{\ell=0}^{m-1} \left(q^{k+1}-q^{k+\ell-n+1}\right)$$

y

$$[k,n]_q = 1-{}_2\phi_1\left({{q^{-n},q}\atop{0}}; q, q^{k+1}\right)$$

• anon notó que el punto (4.) implica el punto (1.)

Answer 3

No es una respuesta completa, pero hay una recurrencia $$[k,1]_q = q^{k}-q^{k+1}$$ $$[k,n+1]_q = \left(q^{k+1}-q^{k-n}\right) \left([k,n]_q -1\right)$$

Una derivación es $$[k,n+1]_q = -\sum_{m=1}^{n+1} \prod_{\ell=0}^{m-1} \left(q^{k+1}-q^{k+\ell-n}\right)$$ $$ = -\left(q^{k+1}-q^{k-n}\right) \sum_{m=1}^{n+1} \prod_{\ell=1}^{m-1} \left(q^{k+1}-q^{k+\ell-n}\right)$$ Subst. $\ell^\prime = \ell - 1, \; m^\prime = m-1$ $$ = -\left(q^{k+1}-q^{k-n}\right) \sum_{m^\prime=0}^{n} \prod_{\ell^\prime=0}^{m^\prime-1} \left(q^{k+1}-q^{k+\ell^\prime-n+1}\right)$$ $$ = \left(q^{k+1}-q^{k-n}\right) \left(-1-\sum_{m^\prime=1}^{n} \prod_{\ell^\prime=0}^{m^\prime-1} \left(q^{k+1}-q^{k+\ell^\prime-n+1}\right)\right)$$ $$ = \left(q^{k+1}-q^{k-n}\right) \left([k,n]_q -1\right) $$

Answer 4

Una forma alternativa, conjeturada por mi colega:

$$[k,n]_q =1+\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^i \frac{q^{(n-k)i+i(i-1)/2}}{1-q^{k+1}} (q^{k+1}\; ;q^{-1})_i= 1 - \sum_{i=1}^{k+1} q^{i(i+1)/2+n-k-1} \prod_{j=1}^{i-1}(q^{n-j}-q^{n-k-1}) $$

Comprobado para los pequeños $k$ y $n$ todavía tiene que demostrarlo. Pero esta forma demuestra explícitamente que $[k,n]_q$ son polinomios para $k<n$ . Además, el número de términos no crece con $n$ .

EDITAR: Si se explora un poco más la nueva forma, se llega a una sorprendente relación de "inversión":

$$[k,n]_q=1-q^{n-k} \sum_{m=0}^k q^{m(n+1)} (q^{-k} \;; q)_m=1-q^{n-k} \left (1 - [n,k]_q \right) $$

EDIT-2 Otra observación empírica: $\frac{[k,n]_q}{(1-q^n)} q^{-k+(n-1)n/2}$ también es un polinomio.