Operador con poderes

Question

Deje $T$ ser un operador lineal en un espacio vectorial V. Deje $K_r$ $W_r$ el valor del núcleo y de la imagen, respectivamente, de $T^r$.

a) Mostrar que $K_1 \subset K_2 \subset \dots$ y $W_1 \supset W_2 \supset \dots$

b)Las condiciones siguientes pueden o no mantener durante un determinado valor de r: $$(1)K_r=K_{r+1}, (2)W_r=W_{r+1}, (3) W_r \cap K_1=\{0\}, (4) W_1+K_r=V.$$ Encuentra todas las implicaciones entre las condiciones de $(1)-(4)$ al $V$ es finito-dimensional y, a continuación, cuando se $V$ es de dimensiones infinitas.

Podría alguien darme una estructura de cómo resolver estas preguntas ? Yo realmente estoy teniendo dificultades para aquí.

Answer 1

Muchos de los problemas son muy poco más que sólo escribir las definiciones, y viendo que todo lo que líneas arriba.

Por ejemplo, la frase " $K_1 \subseteq K_2$ es equivalente a la frase:

Si $x \in K_1$,$x \in K_2$.

La frase $x \in K_1$ es equivalente a la frase $T(x) = 0$. Por tanto, la frase $K_1 \subseteq K_2$ es equivalente a la frase

Si $T(x) = 0$,$x \in K_2$.

y así sucesivamente. El uso de este para la parte (a), que finalmente va a llegar a algo que es obvio o, posiblemente, incluso trivial.