Que $DF(x,y)$ es invertible en un subconjunto denso y abierto de $\mathbb {R^2}$

Question

Mi problema es el siguiente:

Que $p$ ser un polinomio no constante $\mathbb {R}$ y $F(x,y)=(p(x+y),p(x-y))$. Muestran que $DF(x,y)$ es invertible en un subconjunto denso y abierto de $\mathbb {R^2}$.

He estado pensando mucho en esta, pero no pudo llegar lejos... Realmente estoy atrapado... cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

La matriz de Jacobi de $F$ $(x,y)$ es $DF(x,y)\left(\begin{matrix} p'(x+y) & p'(x-y)\ p'(x+y) & -p'(x-y) \end{matrix}\right) $$$ y su determinante es dada por $-2p'(x+y) p'(x-y)$. Así $DF$ es no inversible en $(x,y)$ si y sólo si $x+y \in Z$ o $x-y \in Z$ $Z$ Dónde está el conjunto de raíces de $p'$. $p$ Es no constante, $p'$ es no cero polinomio, así $Z$ es finito. Por lo tanto otorga el conjunto de puntos donde no es inversible $DF$ $$\bigcup_{a \in Z} \left(\operatorname{Graph}(y = a+x) \cup \operatorname{Graph}(y = a-x)\right),$ $ una Unión finita de líneas en $\mathbb R^2$. Claramente, el complemento de esto es abierto y denso.

Answer 2

Escriba cuidadosamente la matriz $DF(x,y)$ utilizando la regla de la cadena. Usted sabe que la matriz es inversible si y solamente si su determinante es distinto de cero, así que escribir una expresión para el factor determinante y establecer igual a cero. Usted debe terminar con algo como $$p'(x+y)p'(x-y) = 0 .$$ When is this possible? Remember that $ p'$ is itself just a polynomial over $\mathbb{R}$, so think about the set of zeroes of that polynomial and how they related to the zeroes of the expression $p'(x+y)p'(x-y). $