¿Número primo más grande $p$ que no se puede escribir como la suma de tres números compuestos impares?

Question

Considero que la secuencia de compuesto de números enteros impares: 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 41, ...

Observo que hay ciertas grandes diferencias entre el compuesto de números enteros impares y esto puede contribuir a la solución.

Así que empezar por examinar algunos sumas primera:

9 + 9 + 9 = 27, 9 + 9 + 15 = 33. Así que esto significa que el 31 es potencialmente un número primo.

Entonces considero que en otras sumas y gestionar para obtener 39, 43 y 45. Así que ahora 41 se convierte en el potencial contendiente.

Pero este método es claramente de ensayo y error. Hay una forma más elegante método?

Answer 1

El mayor número es $47$.

Deje $C$ el conjunto de positivo impar compuesto de números, por lo $C = \{9,15,21,25, \dots \}$. En primer lugar, compruebe $47$ no puede ser escrito como la suma de los tres elementos de la $C$. Ahora observe que el $C$ contiene $\{ 6k+3 \mid k \geqslant 1 \}$, así que si podemos escribir un primer $p$ como una suma de tres elementos de $C$, entonces el mismo es cierto de todos los grandes prime $q$$p \equiv q \mod 6$. Por otra parte, cada primer $ \geqslant 5$ es congruente a $1$ o $5$ modulo $6$. Por último, el más pequeño de los números primos mayores que $47$ que son congruentes a $1$ $5$ son, respectivamente, $61$$53$, e $53 = 9 + 9 + 35$ $61 = 9+25+27$ son ambas sumas de tres elementos de $C$.

Answer 2

Para cada prime $p\gt3$, $p-25$ o $p-35$ es divisible por $6$. (Ambos números son aún, y $p-25\equiv p-1$ mod $3$ mientras $p-35\equiv p-2$ mod $3$.). Si $p\ge53$, la diferencia ($p-25$ o $p-35$) es, al menos,$18$, por lo tanto puede ser escrita en la forma$6(a+b+1)=3(2a+1)+3(2b+1)$,$a,b\ge1$. Así, cada primer $p\gt47$ puede ser escrito como la suma de dos impares múltiplos de $3$ y, o bien $25$ o $35$.

Finalmente, $p=47$ no puede ser escrita como una suma de tres compuesta de números impares: Si $47=x+y+z$ $x\le y\le z$ a partir de la lista de extraño composites, entonces, ya $47/3\lt16$, $x$ debe ser $9$ o $15$. Si $x=9$,$y+z=38$, lo que implica la $y$, además, es $9$ o $15$ (desde $38/2=19$), ninguno de los cuales trabaja. Si $x=15$,$y+z=32$, de nuevo implicando $y$ es $9$ o $15$, ninguno de los cuales trabaja. (Como alternativa, debido a $25$ $35$ son el único impar compuestos menos de $47$ que no son múltiplos de $3$, y desde $25+25\gt47$, tendríamos que escribir $47=x+y+35$. Pero $x+y=12$ no tiene soluciones en números compuestos.)