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Determinante que implica la recurrencia

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$$\left| A \right| = \left| {\matrix{ {x + y} & {xy} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \cr 1 & {x + y} & {xy} & \cdots & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & {x + y} & \cdots & \cdots & 0 \cr \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \cr 0 & \cdots & 0 & 1 & {x + y} & {xy} \cr 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & {x + y} \cr } } \right|$$

Y demostrar que $\det(A) = \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}$ si $x\ne y$ y $\det(A) = (n+1)x^n$ si $x=y$ .

De hecho, pude conseguir esta fórmula de recurrencia:

$$D_n = (x+y)\cdot D_{n-1} + xy\cdot D_{n-2}$$

Intenté demostrarlo por inducción, pero el cálculo algebraico no me llevó al resultado deseado.

5voto

Rene Schipperus Puntos 14164

El problema es que la fórmula de recurrencia debería ser $$D_n=(x+y)D_{n-1}-xyD_{n-2}$$ entonces

$$D_n=\frac{x^n-y^n}{x-y}(x+y)-xy\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}= \frac{(x^n-y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})}{x-y}= \frac{x^{n+1}-y^{n+1}+x^ny -xy^n-x^{n}y+xy^{n}}{x-y}= \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}$$

4voto

mookid Puntos 23569

Una pista: computa $D_1 = x+y, D_2 = x^2 + xy + y^2$ .

Entonces, demuestre que $D_n = x^n + x^{n-1}y + \dots + xy^{n-1} +y^n$ a través de la inducción.

Con el tiempo, como $(x^n + x^{n-1}y + \dots + xy^{n-1} +y^n)(x-y) = x^{n+1} - y^{n+1}$ has terminado.

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