Que muestra la base de un espacio de Hilbert tiene la misma cardinalidad

Question

Estoy tratando de mostrar que si tenemos dos orthnormal familias, $\{a_i\}_{i\in K}$ $\{b_j\}_{j\in S}$ y estos son la base de algunas Espacio de Hilbert H, entonces tienen la misma carnalidad.

Así que Si supongo que el $\{a_i\}_{i\in K}$ es contable, es decir, que $K$ es contable y que $S$ es incontable, a continuación, queremos mostrar que esto lleva a una contradicción.

Como el $\{b_i\}_{i\in K}$ constituye una base sabemos que e $a_n$ como:

$$a_n=\sum_{1}^{\infty} c_ib_i$$

Ahora bien, si dejamos que el conjunto $D_n=\{i|\mbox{for i in the sum of}\ a_n\}$ y, a continuación, tomar:

$D:=\bigcup_n^{\infty} D_n$ , entonces este es el conjunto de todos los índices, y es una contables conjunto como es el contable de la unión de conjuntos contables.

Tome $l\in{S}$ que no está en $D$ $b_l\in H$ y el $\{a_i\}_{i\in K}$ constituye una base tenemos que:

$$b_l\in \overline{lin\{\sum_{i=1}^{\infty} a_i\}}$$

Luego de encima tenemos que:

$$\overline{lin\{\sum_{i=1}^{\infty} a_i\}}=\overline{lin\{b_d|d\in D\}}$$

Si consideramos ahora $$ ||b_l||^2=\sum _1^{\infty} c_i\langle b_{d_i}, b_l \rangle =0$$ de modo que tenemos la contradicción.

Así es la anterior prueba correcta y podemos generalizar esta más a diferentes cardinalidades? Hace H tiene que ser un espacio de Hilbert para que esto sea cierto?

Muchas gracias por cualquier

Answer 1

Deje $(a_i)_{i \in K}$ $(b_j)_{j\in S}$ dos bases de un espacio de Hilbert $H$. Siguiendo tu idea, vamos a mostrar que el $|K| \le |S|$ y por simetría a la conclusión de $|S| = |K|$. Tenga en cuenta que para finito de espacios dimensionales todo lo que somos es bien conocido, desde básico de álgebra lineal. Así que vamos a suponer que la $\aleph_0 \le |K|, |S|$ en lo que sigue.

Deje $i \in K$, entonces podemos escribir, como el $(b_j)$ formulario de una base \[ a_i = \sum_{j\en S_i} \langle a_i, b_j\rangle b_j \] para algunos contables subconjunto $S_i \subseteq S$. Deje $S' := \bigcup_{i\in K} S_j$. Si hay alguna $l \in S \setminus S'$,, $(a_i)$ es una base, $$ b_l \in H = \overline{\operatorname{lin}\{a_i : i \in S\}} $$ sobre el otherhand, para cada una de las $i$ $$ a_i \en \overline{\operatorname{lin}\{b_j: j \en S_i\}} \subseteq \overline{\operatorname{lin}\{b_j : j \in S'\}} $$ por lo $b_l \in \overline{\operatorname{lin}\{b_j : j \in S'\}}$, por lo tanto hay una contables $T \subseteq S'$$b_l \in \overline{\operatorname{lin}\{b_j : j \in T\}}$, dando $$ \|b_l\|^2 = \sum_{j \in T}|\langle b_l, b_j\rangle|^2 = 0 $$ Contradicción.

Por lo $S = S'$ y por lo tanto $$ |S| = |S'| = \left|\bigcup_{i \in K} S_i\right| \le |K| \cdot\sup_i |S_i| \le |K| \cdot \aleph_0 = |K| $$ como deseaba.