Consolidado de Dirichlet ' s unidad teorema para campos ciclotómicas

Question

Si $p$ es un primo impar, $\xi$ es una raíz de th de $p$ de la unidad, y $\mu_k = \frac{1-\xi^k}{1-\xi}$, entonces el $\mu_2, \mu3, \ldots, \mu{\frac{p-1}{2}}$ son multiplicatively independientes. Te lo agradeceria una referencia de este hecho. También estoy interesado en el hecho de análogo cuando se sustituye $p$ $p^k$.

Gracias.

Answer 1

Creo que esto se desprende de los siguientes dos teoremas de Dirichlet (parece como todo en este post es nombrado después de él):

Teorema: Vamos a $\chi$ ser un trivial primitivo carácter de Dirichlet. A continuación,$0<|L(1, \chi)| < \infty$.

Teorema: Vamos a $\chi$ ser un trivial primitivo de Dirichlet carácter de director de orquesta $D>1$. Entonces

$$L(1, \chi) = \frac{1}{\tau(\chi)} \sum_{a=0}^{D-1} \chi^{-1}(a) \log(1-\zeta_D^a).$$

Si $D=p$ es primo, entonces la matriz $(\chi^{-1}(a))$ donde $\chi$ ejecuta a través de todos los personajes de conductor dividiendo $p$ $a$ corre sobre el distinto de cero residuos clases de mod $p$, es invertible, por la independencia lineal de los personajes. De ello se deduce que los valores de $\log(1-\zeta^a)$ son linealmente independientes sobre $\mathbf Q$; creo que esto debería hacerlo.

Answer 2

Esta es básicamente la respuesta de Marie, ahora eliminado, con la excepción de que mi respuesta es considerablemente más y me gusta mucho menos.

Es suficiente para demostrar que los vectores $v_k=(\log|\phi(\mu_k)|)_{\phi}\in \mathbb R^{p-1}$, $k=2,3,\dots,(p-1)/2$, donde $\phi$ ejecuta a través de todas las incrustaciones de $\mathbb Q(\xi)$$\mathbb C$, son linealmente independientes de ( $\mathbb R$ ). Esto se seguiría en el hecho de que los vectores $w_k=(\log\phi(1-\xi^k))_\phi=(\log(1-\xi^k),\log(1-\xi^{2k}),\dots,\log(1-\xi^{(p-1)k}))\in\mathbb C^{p-1}$, $k=1,2,\dots,p-1$, son linealmente independientes de ( $\mathbb C$ ). De hecho, $v_k=((w_k-w_1)+(w_{p-k}-w_{p-1}))/2$.

Para probar la independencia de $w_k$'s, nos deja ver como funciones en $G:=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$,$w_k(a)=\log(1-\xi^{ka})$, o, equivalentemente, como elementos de $\mathbb C[G]$. Deje $W$ ser el espacio vectorial generado por $w_k$'s. $W$ es invariante bajo la acción de $G$$\mathbb C[G]$$w_k=k\cdot w_1$. Pero $\mathbb C[G]$ divide a 1-dim irreductible (y pares no equivalentes) de las representaciones de $G$, es decir, $\mathbb C[G]=\bigoplus_{\chi\in G^*}\mathbb C\chi$ donde $\chi$ ejecuta a través de los personajes de $G$ ($G^*$ es el doble de grupo). Como $W$ $G$- invariante, debe ser $W=\bigoplus_{\chi\in X}\mathbb C\chi$ para algún subconjunto $X\subset G^*$. Por la ortogonalidad de los personajes, si se demuestra que $(\chi,w_1)\neq0$ por cada $\chi\in G^*$ $X=G^*$ y hemos terminado.

Mostrando $(\chi,w_1)\neq0$ es el trabajo real. Por el carácter trivial $\chi=1$ es obvio, $\sum_{a\in G}w_1(a)=\log((1-\xi)(1-\xi^2)\dots(1-\xi^{p-1}))=\log p\neq0$. Para un no-trivial $\chi$ vamos a utilizar los siguientes:

$$(w_1,\chi)=\sum_{a\in G}\overline{\chi(a)}\log(1-\xi^a)=-\sum_{n=1}^\infty\sum_{a\in G}\overline{\chi(a)}\xi^{na}/n=$$ $$=-\tau(\chi)\sum_n\chi(n)/n,$$ donde $\tau(\chi)=\sum_{a\in G}\overline{\chi(a)}\xi^a\neq 0$ es la suma de Gauss y $\chi$ fue extendida a todos los números enteros mediante el establecimiento $\chi(n)=0$ si $p|n$. Y, finalmente, por el celebre teorema de Dirichlet, $$L(1,\chi):=\sum_n\chi(n)/n\neq0$$ (lo que sigue a partir de la $\zeta_{\mathbb Q(\xi)}(s)=\prod_{\chi\in G^*}L(s,\chi)$ y de mirar el residuo en $s=1$; no es puramente analítica (y muy simple) prueba en Serre Curso de Aritmética).