Prueba de la existencia del número de soluciones

Question

No estoy seguro de cómo etiquetar a esta pregunta, como no sé cuál es el área de matemáticas se tratan estos problemas.

Por ejemplo, sé de dos o tres maneras de probar que $$ S=\sum_{k=0}^{\infty}p^{k}=\frac{1}{1-p} $$ si $|p|<1$. Estoy seguro de que otros sepan más maneras de mostrar esto. Lo que me interesa, si existe algún teorema o una conjetura o área de matemáticas en el que se estipula que existe un número finito/contable/incontable número de maneras de demostrar que las declaraciones (incluso tan simple como la anterior).

Si esta pregunta es demasiado vago/inapropiado, yo estaría feliz de quitar de aquí.

Answer 1

Si nos restringimos nuestras pruebas no trivial, es decir, sin afirmaciones obvias como $\sqrt 2 = \sqrt 2$, probablemente hay sólo un número finito de pruebas de cada teorema. Obvio resultados como $0 = 0$ han countably muchos o incluso una cantidad no numerable de pruebas. Decidir si el conjunto de pruebas es contable o incontable depende de la forma en que desea distinguir pruebas. Si usted no permiten el uso de trivial declaraciones como$0 = \sqrt 2 - \sqrt 2 = \sqrt 3 - \sqrt 3 = \ldots $, pero el cambio de palabras cuenta como una prueba, entonces hay countably muchos. Si todo está permitido, a continuación, hay una cantidad no numerable de pruebas debido a que el conjunto de los números irracionales es incontable. Poner un trivial declaración de $r = r$ sobre un diferente número irracional en el interior de una prueba todavía que sea válida y resultado de otra prueba, aunque no hemos podido escribir todas estas pruebas físicamente.