El subespacio compacto no cerrado de un espacio nohausdorff

Question

Tengo una pregunta de topología que es:

Dé un ejemplo de un espacio topológico (no de Hausdorff) X y un subespacio compacto no cerrado.

He estado pensando en ello durante un tiempo pero no estoy llegando a ninguna parte. También me he dado cuenta de que aparte de los espacios métricos no tengo un gran conjunto de espacios topológicos en los que pensar (y un espacio métrico no servirá aquí, porque entonces sería una casa y cualquier conjunto compacto de un espacio métrico está cerrado).

¿Hay ciertos espacios topológicos que debería conocer (es decir, algunos ejemplos estándar y no estándar)?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Cualquier topología con finamente muchos conjuntos abiertos deben tener la propiedad de que todos los conjuntos son compactos, simplemente porque cualquier cubierta abierta ya es finita.

He aquí un ejemplo mucho menos trivial:

Dejemos que $(\mathbb R,\tau)$ sean los números reales con la topología cofinita, es decir, un conjunto es cerrado si y sólo si es finito; y un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es finito.

Consideremos los números naturales como un subconjunto de la recta real, este es un conjunto infinito, pero claramente no es cofinito por lo que no es ni abierto ni cerrado. Supongamos que $\{U_i\mid i\in I\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb N$ . Hay algunos $i_0\in I$ tal que $0\in U_{i_0}$ y como $U_{i_0}$ es abierto significa que contiene todo excepto un número finito de puntos, en particular debe contener todos los números naturales, excepto quizás un número finito de ellos. Para cada $n\in\mathbb N\setminus U_i$ podemos encontrar algunos $U_{i_n}$ . Encontramos, por tanto, una subcubierta finita de esta cubierta abierta, y así $\mathbb N$ es compacto.

Ejercicio: Demostrar que de hecho cada conjunto de números reales es compacto en esta topología.

Answer 2

He aquí algunos ejemplos que funcionan bien.

1. La topología indiscreta en cualquier conjunto con más de un punto: todo subconjunto propio no vacío es compacto pero no cerrado. (La topología indiscreta no sirve para mucho, pero como dijo Qiaochu en los comentarios, es un ejemplo bonito y sencillo cuando funciona de verdad).

2. En el línea con dos orígenes el conjunto $[-1,0)\cup\{a\}\cup(0,1]$ es compacto pero no cerrado: $b$ es en su cierre.

3. El conjunto $\{1\}$ en el Espacio de Sierpinski es compacto pero no cerrado.

4. Para cada $n\in\Bbb N$ dejar $V_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$ Entonces $\{V_n:n\in\Bbb N\}\cup\{\Bbb N\}$ es una topología en $\Bbb N$ en el que todo conjunto finito no vacío es compacto por no cerrado.

5. Dejemos que $\tau$ sea el topología cofinita en un conjunto infinito $X$ . Entonces todo subconjunto de $X$ es compacto, pero los únicos subconjuntos cerrados son $X$ y los subconjuntos finitos de $X$ .

En términos de los axiomas comunes de separación: (1) ni siquiera es $T_0$ (2) y (5) son $T_1$ y (3) y (4) son $T_0$ pero no $T_1$ .

Answer 3

Dado que el ejemplo de Qiaochu es casi demasiado trivial para dar mucha intuición, aquí hay otro buen ejemplo para pensar.

Toma la línea real menos el origen. Ahora toma una unión desarticulada con 2 puntos y declara que los barrios de ambos puntos son exactamente los barrios del origen. Este espacio topológico debe ser pensado como "la línea real con 2 orígenes". Definitivamente no es Hausdorff.

Ahora toma $x \in \mathbb {R} - \{0\}$ y considerar el subespacio $[-x, 0) \cup (0, x] \cup *$ donde $*$ es uno de los orígenes.

Este es un subespacio compacto porque es básicamente el espacio $[-x,x] \subseteq \mathbb {R}$ pero no está cerrado (el otro origen está aislado en el complemento).

Answer 4

Como señala Qiaochu, el ejemplo más sencillo es tomar la topología indiscreta sobre cualquier conjunto con al menos dos elementos. Cualquier espacio indiscreto es automáticamente compacto, y cualquier subespacio de un espacio indiscreto es de nuevo indiscreto.

Por supuesto, en cierto sentido los espacios indiscretos son demasiado triviales. Así que aquí tenemos una gran familia de $T_0$ (de hecho, sobrios) ejemplos. Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo. El espectro primario de $A$ es el espacio topológico $\operatorname{Spec} A$ cuyos puntos son los ideales primos de $A$ y los subconjuntos abiertos de $\operatorname{Spec} A$ son los de la forma $$D(I) = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A : I \nsubseteq \mathfrak{p} \}$$ donde $I$ es cualquier ideal de $A$ . Se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto de la forma $D((f))$ para cualquier elemento $f$ en $A$ es compacto, y en general $D((f))$ también será no cerrada. Por ejemplo, para $A = \mathbb{Z}$ el espectro primo está formado por los puntos $$\{ (p) : p \text{ is a prime number} \} \cup \{ (0) \}$$ y los subconjuntos abiertos no vacíos son los que contienen todos los ideales, excepto algunos finitos $(p)$ . Esto es casi la topología cofinita, pero $(0)$ no es un punto cerrado en $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ . Es sencillo comprobar que todos los subconjuntos abiertos no vacíos de $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ son compactos y densos.

Incluso podemos encontrar $T_1$ ejemplos: como se ha insinuado anteriormente, cualquier conjunto infinito con la topología cofinita tendrá la propiedad de que todos sus subconjuntos abiertos no vacíos son compactos y densos. Otra fuente de $T_1$ ejemplos es la geometría algebraica clásica: si $k$ es cualquier campo algebraicamente cerrado, entonces $\mathbb{A}^n (k)$ es el espacio topológico cuyos puntos son $n$ -tuplas de elementos de $k$ y los subconjuntos abiertos de $\mathbb{A}^n (k)$ son los de la forma $$D(I) = \{ (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n (k) : \forall f \in I . f (a_1, \ldots, a_n) \ne 0 \}$$ donde $I$ es cualquier ideal del anillo polinómico $k[x_1, \ldots, x_n]$ . De nuevo, se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto no vacío de la forma $D((f))$ para cualquier polinomio $f$ es compacto y denso en $\mathbb{A}^n (k)$ .

Answer 5

Hay un metaejemplo: dado un espacio compacto (o cualquier espacio en absoluto, en realidad) $X$ podemos encontrar una incrustación $X\subsetneq X'$ tal que $X$ es abierto denso en $X'$ y si $X$ es $T_1$ y tiene al menos dos puntos, podemos elegir $X'$ como tal.

Esto es bastante sencillo: basta con tomar un punto $y\notin X$ y que $X'=X\cup \{y\}$ con topología dada por la unión de la topología sobre $X$ y la totalidad de $X'$ para que los puntos de $X$ tienen los mismos barrios que en $X$ , además de $X'$ , mientras que $y$ sólo tiene una vecindad que es $X'$ .

El ejemplo anterior no es $T_1$ pero se puede aumentar fácilmente a tal si $X$ es $T_1$ y tiene al menos dos puntos: sólo hay que añadir a la topología en $X'$ para cualquier $A\subseteq X$ el conjunto $A'=A\cup \{y\}$ . Entonces claramente los testigos para $T_1$ -de $X$ proporcionará testigos para $T_1$ -de $X'$ .