Como señala Qiaochu, el ejemplo más sencillo es tomar la topología indiscreta sobre cualquier conjunto con al menos dos elementos. Cualquier espacio indiscreto es automáticamente compacto, y cualquier subespacio de un espacio indiscreto es de nuevo indiscreto.
Por supuesto, en cierto sentido los espacios indiscretos son demasiado triviales. Así que aquí tenemos una gran familia de T0 (de hecho, sobrios) ejemplos. Dejemos que A sea un anillo conmutativo. El espectro primario de A es el espacio topológico SpecA cuyos puntos son los ideales primos de A y los subconjuntos abiertos de SpecA son los de la forma D(I)={p∈SpecA:I⊈ donde I es cualquier ideal de A . Se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto de la forma D((f)) para cualquier elemento f en A es compacto, y en general D((f)) también será no cerrada. Por ejemplo, para A = \mathbb{Z} el espectro primo está formado por los puntos \{ (p) : p \text{ is a prime number} \} \cup \{ (0) \} y los subconjuntos abiertos no vacíos son los que contienen todos los ideales, excepto algunos finitos (p) . Esto es casi la topología cofinita, pero (0) no es un punto cerrado en \operatorname{Spec} \mathbb{Z} . Es sencillo comprobar que todos los subconjuntos abiertos no vacíos de \operatorname{Spec} \mathbb{Z} son compactos y densos.
Incluso podemos encontrar T_1 ejemplos: como se ha insinuado anteriormente, cualquier conjunto infinito con la topología cofinita tendrá la propiedad de que todos sus subconjuntos abiertos no vacíos son compactos y densos. Otra fuente de T_1 ejemplos es la geometría algebraica clásica: si k es cualquier campo algebraicamente cerrado, entonces \mathbb{A}^n (k) es el espacio topológico cuyos puntos son n -tuplas de elementos de k y los subconjuntos abiertos de \mathbb{A}^n (k) son los de la forma D(I) = \{ (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n (k) : \forall f \in I . f (a_1, \ldots, a_n) \ne 0 \} donde I es cualquier ideal del anillo polinómico k[x_1, \ldots, x_n] . De nuevo, se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto no vacío de la forma D((f)) para cualquier polinomio f es compacto y denso en \mathbb{A}^n (k) .