$\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{mn}$ $\mathbb{Z}_{mn}$ módulos

Question

Me gustaría saber si, cuando $\gcd(m,n)=1$, es el caso que $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}n$ es isomorfo a $\mathbb{Z}{mn}$ $\mathbb{Z}{mn}$ módulos. Sé son isomorfos como grupos pero no podía demostrar que eran isomorfos como módulos sobre el anillo $\mathbb{Z}{mn}$.

Answer 1

Un $\mathbb{Z}_k$ módulo es sólo un grupo abelian de exponente $k$ (es decir, un grupo abelian en que $kx=0$ todos los $x$). En particular:

Teorema. Dos abelian grupos de exponente $k$ son isomorfos como $\mathbb{Z}_k$ módulos si y sólo si son isomorfos como grupos.

Prueba. Deje $G$ $H$ dos abelian grupos (escrito de forma aditiva) de exponente $k$. Si son isomorfos como $\mathbb{Z}_k$ módulos, entonces hay una bijective $\mathbb{Z}_k$-módulo de isomorfismo $\phi\colon G\to H$; este módulo isomorfismo es en particular un grupo abelian isomorfismo, por lo $G$ $H$ son isomorfos como abelian grupos.

Por el contrario, supongamos que $G$ $H$ son isomorfos como abelian grupos, y deje $\psi\colon G\to H$ ser un grupo abelian isomorfismo. Me dicen que es un $\mathbb{Z}_k$-módulo de isomorfismo. Para establecer esto, es suficiente para mostrar que $\psi(ax) = a\psi x$ todos los $a\in\mathbb{Z}_k$. Desde $G$ $H$ son de exponente $k$, "$ax$" está bien definido ya que si $a\equiv a'\pmod{k}$, $a=a'+km$ algunos $m$, y, a continuación,$ax = (a'+km)x = a'x + m(kx) = a'x+0 = a'x$. Procedemos por inducción sobre $a$: para $a=0$, $\psi(0x) = \psi(0) = 0 = 0\psi(x)$. Suponiendo que el resultado vale para $a$, $\psi((a+1)x) = \psi(ax+x) = \psi(ax)+\psi(x)$ (desde $\psi$ es un grupo abelian homomorphism), y $\psi(ax)+\psi(x) = a\psi(x)+\psi(x) = (a+1)\psi(x)$. Por lo tanto, $\psi$ $\mathbb{Z}_k$- módulo homomorphism así. $\Box$

Answer 2

En primer lugar, como abelian grupos $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ $\mathbb{Z}_{mn}$ son sólo isomorph si $(m,n) = 1$. De lo contrario, es $$ \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{[m,n]}. $$

Dicho esto, ¿cuál es la estructura de $\mathbb{Z}_{mn}$-módulo de $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$? Probablemente se refieren a los siguientes $$ [h] ([x], [y]) = ([hx], [hy]) = h ([x], [y]). $$ Donde la multiplicación de la izquierda es la de la $\mathbb{Z}_{mn}$-módulo y que en el derecho es la multiplicación de la th $\mathbb{Z}$-módulo.

Ahora, dado un isomorfismo de $\mathbb{Z}$-módulos de $\Phi: \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_{[m,n]}$ hemos $$ \Phi([h] ([x], [y])) = \Phi(h ([x], [y])) = h \Phi([x], [y]) = [h] \Phi([x], [y]) $$