Quiero probar o refutar la afirmación de que, para una función f que es continua en a(0,\infty),\displaystyle{\int_0^\infty f(x)\ dx=\lim_{t\to\infty} \int_{1/t}^t f(x)\ dx}.
Mi intuición es que es falso, ya que es similar a \displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx=\lim_{t\to\infty} \int_{-t}^t f(x)\ dx }.
Para probar que es falso, yo estoy buscando una función de f que satisface
- \int_{1/t}^1 f(x)\ dx=-\int_{1}^t f(x)\ dx cualquier t>1
- f(1)=0
- y \int_0^\infty f(x)\ dx es divergente.
Es demasiado para mi propósito, pero me inspiré en el similar falsa declaración anterior y su simple contra-ejemplo f(x)=x.
Por medio de la sustitución u=\frac{1}{x}, puedo demostrar que si f es la solución de f(\frac{1}{x})=x^2f(x), entonces el punto de 1 está satisfecho. La diferenciación de este functionial ecuación, obtenemos que un diferenciable solución es la solución de (1-x^8)y'-2(x^7-x^3)=0, cuyas soluciones son a y(x)=\frac{C}{\sqrt{1+x^4}}. Para satisfacer el segundo punto, tenemos C=0. Pero, por supuesto, \int_0^\infty\ 0\ dx es convergente.
Pensé que me iba a encontrar fácilmente un contra-ejemplo, pero estoy atascado. Alguna idea?
