Quiero probar o refutar la afirmación de que, para una función $f$ que es continua en a$(0,\infty)$,$\displaystyle{\int_0^\infty f(x)\ dx=\lim_{t\to\infty} \int_{1/t}^t f(x)\ dx}$.
Mi intuición es que es falso, ya que es similar a $\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx=\lim_{t\to\infty} \int_{-t}^t f(x)\ dx }$.
Para probar que es falso, yo estoy buscando una función de $f$ que satisface
- $\int_{1/t}^1 f(x)\ dx=-\int_{1}^t f(x)\ dx$ cualquier $t>1$
- $f(1)=0$
- y $\int_0^\infty f(x)\ dx$ es divergente.
Es demasiado para mi propósito, pero me inspiré en el similar falsa declaración anterior y su simple contra-ejemplo $f(x)=x$.
Por medio de la sustitución $u=\frac{1}{x}$, puedo demostrar que si $f$ es la solución de $f(\frac{1}{x})=x^2f(x)$, entonces el punto de $1$ está satisfecho. La diferenciación de este functionial ecuación, obtenemos que un diferenciable solución es la solución de $(1-x^8)y'-2(x^7-x^3)=0$, cuyas soluciones son a $y(x)=\frac{C}{\sqrt{1+x^4}}$. Para satisfacer el segundo punto, tenemos $C=0$. Pero, por supuesto, $\int_0^\infty\ 0\ dx$ es convergente.
Pensé que me iba a encontrar fácilmente un contra-ejemplo, pero estoy atascado. Alguna idea?
