Probabilidad con mis amigos de Facebook

Question

Si tengo 5000 amigos en Facebook, ¿cuál es la probabilidad de que un día no hay nadie con ese cumpleaños existe? Supongo que hay 365 días en un año y una distribución uniforme de las fechas de nacimiento.

Supongo que es más fácil calcular el opuesto y restar uno.

Answer 1

Muy pequeña. Puesto que va a ser aún más improbable que hay dos perdidas las fechas, podemos obtener una aproximación excelente simplemente ignorando esa posibilidad. Hay 365 posibilidades para el día en el que falta, y para cada uno de ellos la probabilidad de la falta él es ${(\frac{364}{365})}^{5000} \approx 1/906576$. La probabilidad de perder algún día es cerca de 365 veces, o $1/2484$.

Answer 2

Un (por lo general muy buena) la aproximación se basa en el procedimiento llamado poissonization.

Considere que usted tiene un número aleatorio de amigos, con una distribución de Poisson de parámetro $F=5000$ y que no se $J=365$ días en un año. A continuación, cada día del año, recibe un número aleatorio de amigos, con una distribución de Poisson de parámetro $F/J$ y (esta es la característica fundamental) son independientes.

Entonces la probabilidad de a $P$ que al menos un día queda libre es $1-p^J$ donde $p$ es la probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson con parámetro de $F/J$ al menos $1$. Uno se $p=1-e^{-F/J}$ e $$P=1-(1-e^{-F/J})^J.$$ Numéricamente, este rendimientos $P=.0410170619 \%$.

La calidad de la aproximación (que puede ser cuantificada) se basa en dos hechos. En primer lugar, el modelo de Poisson condicionalmente en el número total de amigos coincide con el modelo original. Segundo, al menos cuando el parámetro de $F$ es grande, la variable aleatoria de Poisson está muy concentrada en torno a su media de $F$, por lo tanto, el condicionamiento es, de hecho, no es necesario.

Answer 3

Se puede utilizar la fórmula que doy en este post. Si sustituye $n=365$$k=5000$, calcular la probabilidad de $.99959$ de conseguir todos los 365 cumpleaños. La probabilidad de no obtener todos los 365 cumpleaños es $1-.99959=.00041$, o alrededor de 1 en 2500.

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Alternativamente, tenga en cuenta que esta es la clásica de la ocupación problema. La exacta probabilidad de que al menos uno de los cumpleaños no aparece es $$\sum_{j=0}^n (-1)^j {n\choose j}\left(1-{j\over n}\right)^k$$ donde dejamos $n=365$$k=5000$. Afortunadamente, con un gran $k$ obtener una excelente aproximación tomando sólo los primeros 3 o 4 de los términos en la suma.

Answer 4

Usted puede calcular por la combinatoria: teniendo en cuenta los cumpleaños de los amigos como (distinc) pelotas (B=5000) y los días de los años de como (distintas) de las células (C=365), el número total de maneras de colocar a B bolas en las células C es $C^B$. El número de maneras de colocar en ellos con la restrinction que ninguna celda está vacía, está dado por el número de Stirling de segunda Especie $S(B,C)$ multiplicado por el $C!$. Por lo tanto, la probabilidad de que todas las células son ocuppied (no vacío cumpleaños)

$$P = \frac{C\,! \; S(B,C)}{C^B}$$

Para obtener una asymptotics... Didier golpear a mí :-)

Answer 5

Supongamos por un momento que hay 365 igualmente probable cumpleaños y uno que es de sólo 25% de probabilidades de los otros. Entonces la probabilidad de que nadie nace en la menos probable es que día es

$$\left(1-\frac{1}{4\cdot365+1}\right)^{5000}\approx3.25\%$$

y de lo contrario, la probabilidad de que uno está perdido cerca de

$$365\left(1-\frac{1}{365}\right)^{5000}\approx0.04\%$$

como Henning Makholm sugiere. La combinación de los dos, y ser un poco más cuidadoso acerca de la exclusión de el salto-el día de cumpleaños de la segunda cálculo puedo obtener un combinado de la probabilidad de 3.2979% que un cumpleaños es falta o un 96.7021% que todos los cumpleaños están presentes.