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xsin(x) En una serie específica de desarrollar

Tengo que encontrar una serie que en 0xπ: %#% de #% parece ser imposible porque conseguir enxsin(x)=n=0ansin(2nx) x=π/2. Sin embargo traté de hacerlo (como parte de otro ejercicio que apparentelly estoy en el camino equivocado), tal como hacemos en transformada de Fourier clásica:

π/2=0$

Pude resolverlo y encontrar $$\int{0}^{\pi} x\sin(x)\cdot\sin(2mx) dx = \sum{n=0}^{\infty}an\int{0}^{\pi} \sin(2nx)\cdot\sin(2mx) dx, que por supuesto es una solución equivocada.

¿En qué etapa estaba equivocado? ¿De alguna manera es posible desarrollar una serie (aun sin $$a_n = \dfrac{-16n}{\pi(2n-1)^2 (2n+1)^2}$)?

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user159517 Puntos 877

Sugerencia:

Como he dicho en los comentarios anteriores, es importante darse cuenta de que la transformada de fourier de la teoría no le pointwise convergencia de la serie, sólo L2-convergencia. Por lo tanto, no es una contradicción que la serie de fourier en x=π/2 no está de acuerdo con la función. Tenga en cuenta que las funciones sin(2nx), nN no son ortonormales base de L2(0,π), lo que significa que

π0xsin(x)sin(2mx)dx=n=0anπ0sin(2nx)sin(2mx)dx

no implica

an=π0xsin(x)sin(2nx)dx.

Ahora, para resolver el problema: Uso de la clásica teoría de fourier para encontrar coeffcients an,nZ tal que x2sin(x2)=nZˆansin(nx)inL2(0,2π). You can then easily find coefficients an for nN such that x2sin(x2)=n=0ansin(nx),inL2(0,2π) sostiene.

Ahora, para NN podemos sustituir el u=x/2 obtener

2π0|x2sin(x2)Nn=0ansin(nx)|2dx=2π0|usin(u)Nn=0ansin(2nu)|2du

Para N, la izquierda va a la 0, por lo que el lado derecho debe ir a 0 así y vemos que el coefficents an resolver el problema.

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Amey Joshi Puntos 129

Vamos primero a encontrar series de Fourier con coeficientes complejos. If\begin{equation} f(x) = \sum{\nu = -\infty}^{\infty} \alpha\nu e^{i\nu x} \end{equation} entonces \begin{equation} \alpha\nu = \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^\pi f(x)e^{-i\nu x}dx \end{equation} f(x)=xsinx,\begin{equation} \alpha\nu = \frac{1}{4\pi i}\left(\int{-\pi}^\pi xe^{i(1 - \nu)x}dx - \int{-\pi}^\pi xe^{-i(1 + \nu)x}dx\right) \end{equation} si ν=±1, $\alpha\nu = 0.Conun\nu \ne \pm 1,αν=iνcos(πν)ν21sif$ es ampliado como\begin{equation} f(x) = \frac{a0}{2} + \sum{\nu = 1}\left(a\nu\cos(\nu x) + b\nu\sin(\nu x)\right) \end{equation} entonces el $2a\nu = \alpha\nu + \alpha{-\nu}2b\nu = i(\alpha\nu + \alpha{-\nu}). Así a\nu = 0$ y \begin{equation} b\nu = -\frac{2\nu}{\nu^2 - 1}\cos(\pi\nu) \text{ if } \nu > 1 \end{equation} % además, $b_0, b1 = 0$. Por lo tanto,\begin{equation} x\sin x = -\sum{\nu = 2}^\infty \frac{2\nu}{\nu^2 - 1}\cos(\pi\nu)\sin(\nu x) \end{equation}

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mlu Puntos 594

Podemos desarrollar x \sin(x) en una serie de 0 \leq x \leq \pi

$$ x \sin(x) = 1-\sum{n=1}^{\infty} \frac{2 }{4n^2-1}\cos \left( 2n x \right)-\sum{n=1}^{\infty}\frac{16\ n}{\pi \left( 16n^4-8n^2+1 \right)}\sin \left(2nx\right) $$

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