Cuán diferentes pueden categorías equivalentes?

Question

Algunos bastante grandes resultados en matemáticas puede ser expresado como la equivalencia de categorías (o más bien, como adjunctions). La definición habitual $FG\cong 1,GF\cong 1$ es fácilmente justificable en la categoría de teoría, porque la igualdad es demasiado estricto. Mi problema es que tengo nunca se dio cuenta exactamente de lo que se pierde en este "aflojamiento". Voy a construir mi preguntas en torno a la equivalencia de forma local libre de poleas y vector de paquetes.

Mientras buscaba en el Borceux (Vol I, párrafo después de la proposición 3.4.5), vi por ejemplo que categorías equivalentes pueden tener no isomorfos de conjuntos de objetos (el functor $N:\mathbf 2\rightarrow \mathbf 1$). ¿Cuáles son algunos ejemplos explícitos de (muy interesante) categorías equivalentes, con no isomorfos clases de objetos?

Ya, esto me molesta. Por ejemplo, mirar a la famosa resultado relativas localmente libre de poleas y vector de paquetes. Si categorías equivalentes, puede tener no isomorfos clases de objetos, luego de esto no se sigue en absoluto que cada vector paquete da lugar a un local libre de gavilla y viceversa, no? Pero no es este un hecho importante? Hace esencial surjectivity de alguna manera reparar esta brecha?

Ahora el hecho de $F$ es totalmente fiel es $\mathsf{Hom}(A,A^\prime)\cong \mathsf{Hom}(FA,FA^\prime)$, por lo que parece que no hay nuevas flechas pueden aparecer mágicamente, por lo tanto, mirando a las parejas de "paralelo" de los hom-establece que no puede diferenciar entre las categorías equivalentes.

Entonces, ¿exactamente cómo diferentes pueden categorías equivalentes?

Este MSE pregunta parece estar muy relacionadas, tanto a mi pregunta y a la observación en Borceux acerca de categorías equivalentes, no siendo intercambiables "desde fuera". Sin embargo, el nivel de la discusión no es demasiado alto para que yo realmente siento que entender exactamente lo que está pasando...

La intuición, instructivos ejemplos y resultados formales son todos bienvenidos.

Answer 1

Categorías equivalentes, son idénticas, excepto que ellos pueden tener diferentes números de isomorfo "copias" de los mismos objetos. Una forma de realizar este preciso es el siguiente. Dicen que una categoría $\mathcal{C}$ es esquelético si isomorfo objetos de $\mathcal{C}$ son iguales. Dado cualquier categoría $\mathcal{C}$, usted puede encontrar un equivalente del esqueleto completo de la subcategoría (o "esqueleto") $\mathcal{D}$ $\mathcal{C}$ por sólo tomar un representante de cada uno de isomorfismo clase de objetos (la inclusión functor $\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ es entonces una equivalencia). Además, si $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ son esquelético, y $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ es una equivalencia, a continuación, $F$ es en realidad un isomorfismo (esto es fácil de ver desde la caracterización de equivalencias como plenamente fiel y esencialmente surjective; tenga en cuenta, sin embargo, que una inversa de a $F$ como una equivalencia podría no ser una inversa de a $F$ como un isomorfismo). De ello se desprende que el esqueleto de una categoría es única hasta el isomorfismo, y dos categorías son equivalentes si sus skeleta son isomorfos.

Lo que es más importante, casi todos los útiles cosa que se puede decir acerca de los objetos en una categoría es invariante bajo isomorphisms. Así, nunca la atención sobre la distinción entre un objeto y otro objeto que es isomorfo a (al menos, cuando se ha elegido un determinado isomorfismo entre ellos). En el caso de localmente libre de poleas y vector de paquetes, el punto no es que localmente libre de poleas y vector de paquetes son , literalmente, en bijection el uno con el otro; más bien, el punto es que isomorfismo clases de localmente libre de poleas están en bijection con clases de isomorfismo de vector de paquetes, de un modo compatible con los mapas entre estos objetos. Al desentrañar lo que esta compatibilidad se debe decir, usted encontrará que una equivalencia de categorías exactamente le da la compatibilidad que usted está buscando.