¿Cómo puedo encontrar el campo de división de $x^4+13$ ?

Question

Tengo las cuatro raíces pero no estoy seguro de cómo proceder a continuación, y cómo demostrar que el grado de la extensión sobre Q es 8.

Answer 1

Mirando las raíces $$\sqrt[4]{-13},i\sqrt[4]{-13},-\sqrt[4]{-13},-i\sqrt[4]{-13}$$ está claro que el campo de división es $$\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{-13})$$ es decir, ya que ambos $i\sqrt[4]{-13},\sqrt[4]{-13}$ está en el campo de separación campo, por lo que $\frac{i\sqrt[4]{-13}}{\sqrt[4]{-13}}=i$ es.

Ahora tenemos que encontrar $[\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{-13}):\mathbb{Q}]$ .

Argumentar que $i\not\in\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-13})$ utilizando el hecho de que $\sqrt{13}\not\in\mathbb{Q}$ se deduce que el grado es $8$ al observar $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-13}):\mathbb{Q}]=4$ ya que es una simple extensión y $x^{4}+13\in\mathbb{Q}[x]$ es irreducible