¿Es la restricción de un morfismo plano plano?

Question

Que $X$ ser un esquema proyectivo, cerrados subschemes de $X_1, X_2$ $X$. Que $f:X \to S$ sea un morfismo plano esquema $S$. Denotar por $i_1$ y $i_2$ inclusión natural mapas de $X_1$ y $X_2$, respectivamente a $X$. Suponga que la composición mapas $f \circ i_1$ y $f \circ i_2$ son planas. Es entonces cierto que el % de producto de fibra $X_1 \times_X X_2$es plano sobre $S$ bajo el % de mapas naturales $f \circ i_1 \circ pr_1$o $f \circ i_2 \circ pr_2$, $pr_i$ ¿Dónde está el morfismo de proyección natural de $X_1 \times_X X_2$ en sus coordenadas de $i$-th?

Answer 1

No, el producto de fibra no es siempre plana por $S$:

Deje $k$ ser un campo de característica $\neq 2$ y tomar por $f$ la primera proyección de $f:X=\mathbb A^2_k=\operatorname {Spec}k[x,y]\to S=\mathbb A^1_k=\operatorname {Spec} k[x]$ $i_1$ el cerrado de inmersión de $X_1=V(x-y^2)$ a $X$ $i_2$ el cerrado de inmersión de $X_2=V(x+y^2)$ a $X$.
El producto de fibra de $X=X_1\times_X X_2$ a continuación, es el mismo que el esquema teórico de la intersección intersección $X_1\cap X_2=V((x-y^2,x+y^2))=V(x,y^2)$, un doble punto.
Este producto de fibra es así, desde luego, no planas $(\bigstar)$$S=\mathbb A^1_k$, a pesar de $X,X_1$$X_2$$(\bigstar \bigstar)$.

$(\bigstar)$ Desde que se corresponde con el anillo de morfismos $k[x]\to k[x,y]/(x,y^2)=k[y]/(y^2):x\mapsto 0$
$(\bigstar \bigstar)$ Recordar que una de morfismos de una integral de reducción de esquema a un nonsingular curva es plana iff es dominante (Hartshorne, III 9.7, página 257), que muestra que el $X,X_1$ $X_2$ son planas $S$.

Answer 2

En el espíritu de Georges de la filosofía de grabación útiles (contador)ejemplos, permítanme ofrecer otro:

Considere la posibilidad de la proyección de $X = \mathbb A^2 \to S = \mathbb A^1$$(x,y) \mapsto x$.

Ahora vamos a $X_1$ ser la línea de $y = 0$ $X_2$ ser la línea de $x + y = 0$. Ambos mapa isomorphically a $\mathbb A^1$ (y un isomorfismo es plana!). Sin embargo, hay la intersección es el punto de $(0,0)$, que no mapa rotundamente a $\mathbb A^1$.

(Nota: como con Georges respuesta, mi variedades no son proyectivos, porque es más fácil escribir las fórmulas en el afín de configuración. Es un ejercicio para "completar" el ejemplo anterior, para dar un ejemplo análogo con variedades proyectivas.)

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Observación General: Como Georges, señaló en su respuesta, y como mencioné anteriormente, la fibra de producto a través de $X$ de dos cerrados subschemes de $X$ es sólo su (esquema de la teoría de la) intersección. Así que el mapa que está pidiendo, es decir $X_1\times_X X_2 \to S$, factores como el cerrado de la inmersión de la $X_1\times X_2 \to X_1$, seguido por el mapa plano $X_1 \to S$. Cerrado desde entonces inmersiones nunca son planos, a menos que se isomorphisms, no hay ninguna razón para pensar que la respuesta a tu pregunta sería sí, y, por supuesto, era fácil para Georges y me vienen con contraejemplos, simplemente pensando en ejemplos no triviales (y por lo tanto no es plano) cerrado inmersiones.