Supongamos que $v$ es trascendental $\mathbb{Q}$ y $a,b\notin\mathbb{Q}$ son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$. ¿Cuando contienen $\mathbb{Q}(v,av+b)$ un elemento algebraico sobre $\mathbb{Q}$ pero no en $\mathbb{Q}$?
¿Es posible que la respuesta es siempre?
Sí, la respuesta es "siempre".
(1) Vamos a $f\in\mathbb{Q}[x]$ ser un polinomio irreducible, vamos a $F$ ser algún campo de la extensión de $\mathbb{Q}$ y asumir que $f$ se convierte en reducible $F$. A continuación, $F$ contiene un elemento $a\not\in\mathbb{Q}$ que es algebraico sobre $\mathbb{Q}$.
La prueba: los coeficientes de los factores irreducibles de $f$ $F$ son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ y al menos uno de ellos no está en $\mathbb{Q}$.
(2) La función racional campo $\mathbb{Q}(v)$ no contiene elementos $a\not\in\mathbb{Q}$ algebraicas sobre $\mathbb{Q}$.
Esto es bien conocido y ha sido ya discutido en este sitio varias veces.
(3) Deje $a,b\not\in\mathbb{Q}$ ser algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ y en el campo $F:=\mathbb{Q}(v,av+b)$ donde $v$ es trascendental $\mathbb{Q}$. A continuación, $F$ contiene elementos $c\not\in\mathbb{Q}$ algebraicas sobre $\mathbb{Q}$.
Prueba: supongamos $f\in\mathbb{Q}[x]$ ser el polinomio mínimo de un elemento primitivo de la extensión algebraica $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(a,b)=:K$. Entonces por (2) $f$ permanece irreductible $\mathbb{Q}(v)$. Por lo tanto $[K:\mathbb{Q}]=[K(v):\mathbb{Q}(v)]$.
Por construcción tenemos $FK=K(v)$, ya que el $a=v^{-1}(av), b=v^{-1}(bv)$$FK$. Por otra parte $[FK:F]=[K(v):F]\leq [K(v):\mathbb{Q}(v)]$.
Supongamos ahora que $F$ no contiene $c\not\in\mathbb{Q}$ algebraicas sobre $\mathbb{Q}$. Entonces por (1) $[FK:F]=[K(v):\mathbb{Q}(v)]$.
Desde el grado de extensiones de campo es multiplicativo, tenemos la ecuación
$[FK:\mathbb{Q}(v)]=[FK:F][F:\mathbb{Q}(v)]=[FK:K(v)][K(v):\mathbb{Q}(v)]$
a continuación, obtener $[F:\mathbb{Q}(v)]=[FK:K(v)]=[K(v):K(v)]=1$, de ahí la contradicción $a,b\in\mathbb{Q}$.
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