Mostrar que en un espacio de Hilbert complejo, T normal limitada operador linear, $\| T^2 \| =\| T \| ^2$

Question

Así, como parte de un problema, se me ha pedido para probar que si $H$ es un complejo espacio de Hilbert y $T\in L(H)$ es normal, a continuación, $\| T^2 \| =\| T \| ^2$ (Operador de la norma)

Contexto: Esta es la parte (b) en un tercera parte de la problema, obviamente, diseñado para construir a un resultado final. El resultado final es que esto es bueno para cualquier entero $n$, y en la primera parte (ya probado) fue que $$T \text { normal } \iff \forall x\in H,\| T(x)\|=\|T^*(x)\|$$

Así que, aquí está mi intento de prueba de la parte b:
Debido a que el operador de la norma es submultiplicative, tenemos $\|T^2\|\le \| T\| ^2$. Luego de un teorema en Kreyszig Introductorio del Análisis Funcional con Aplicaciones (THm 3.94(s), página 198) tenemos $$\|TT^*\|=\|T\|^2$$, y el uso de submultiplicativity de nuevo, combinado con ellos 3.92 (p 196) que los estados $\|T^*\|=\|T\|$, tenemos $$\|T\|^2\le \|T\|\cdot \|T^*\|=\|T\|^2$$ por lo tanto $\|T^2\|=\|T\|^2$ como se desee.

Ahora, el problema es...ninguno de los teoremas he utilizado requieren $T$ a ser normal (O el espacio para ser complejos). Tampoco puedo usar parte de una. Así que....mi prueba de que está mal, o esta declaración realmente tiene para todos los delimitada lineal de operadores en cualquier espacio de Hilbert...que lo dudo, así que creo que he cometido un error en alguna parte. Algún consejo?

Answer 1

Así, sólo formalmente completar esta cosa, el comprobante: Tomar la plaza de las normas, tenemos

$$\|T^2x\|^2=\langle T^2x,T^2x\rangle=\langle T^*T^2x,Tx\rangle=\langle TT^*Tx,Tx\rangle=\langle T^*Tx,T^*Tx\rangle=\|T^*Tx\|^2$$ ya que este tiene para todos los $x\in H$, $\|T^2\|=\|T^*T\|=\|T\|^2$ como se desee

(Y sí, la normalidad está siendo utilizado!)

Para aquellos que juegan junto con nuestra casa de juego, para probar esto se extiende a cualquier arbitray energía positiva $n\in \mathbb N$, el uso de adelante/atrás de la inducción: en Primer lugar se demuestra arbitrarias de las potencias de 2: $\forall k\in \mathbb N$ para $2^k$ por inducción en $k$. A continuación, utilice inducción hacia atrás en $n$: si que tiene de $n$, que tiene de $n-1$. (esta es sólo la segunda vez que he visto de adelante para atrás de inducción utilizado, la otra vez fue en la prueba de aritmética/media geométrica de la desigualdad....¿alguien sabe de otros usos?)