¿Cómo responderías a un alumno de secundaria que dice: "¿Cómo saben que los números irracionales no se repiten NUNCA? Es decir, sólo hay 10 dígitos posibles, así que al final deben empezar a repetirse. Y, ¿cómo saben que números como $\pi$ y $\sqrt2$ son irracionales porque no pueden comprobar un número infinito de dígitos en la forma decimal para ver si hay una repetición".
Sabemos que los números irracionales nunca se repiten combinando los dos hechos siguientes:
En conjunto, estos hechos demuestran que un número es racional si y sólo si tiene una expansión decimal repetida.
Las expansiones decimales que no se repiten son fáciles de construir; en otras respuestas ya hay ejemplos de ello.
Creo que lo más importante en relación con tu pregunta es que nadie determina la irracionalidad de un número examinando su expansión decimal. Si bien es cierto que un número irracional tiene una expansión decimal no repetitiva, no es necesario demostrar que un número dado tiene una expansión decimal no repetitiva para demostrar que es irracional. De hecho, esto sería muy difícil ya que tendríamos que tener una forma de determinar todos los decimales. En su lugar, utilizamos el hecho de que un número irracional no es racional; de hecho, ésta es la definición de un número irracional (nótese que la definición no es que tenga una expansión decimal no repetitiva, eso es una consecuencia). En particular, para mostrar un número como $\sqrt{2}$ es irracional, demostramos que no es racional. Este es un enfoque mucho mejor porque, a diferencia de los números irracionales, los números racionales tienen una forma muy específica que deben adoptar, a saber $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son números enteros, $b$ no cero. Las pruebas estándar muestran que no se puede encontrar tal $a$ y $b$ para que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ demostrando así que $\sqrt{2}$ no es racional; es decir, $\sqrt{2}$ es irracional.
¿Qué pasa con el número $0.1010010001000010000010000001 \dots$ ? Las series de ceros siempre se alargan, así que está claro que nunca se repite. Creo que eso podría satisfacer la objeción de que todo el concepto de un decimal no repetitivo no tiene sentido.
La equivalencia entre tener una representación como una fracción y tener una representación como un decimal que se repite eventualmente es algo más profundo y para un estudiante de secundaria podría ser mejor tomarlo a fe. Un lugar para comenzar con este tema es Teorema de Euler . Una de las direcciones (que todos los decimales que se repiten eventualmente pueden representarse como fracciones) puede demostrarse con una serie convergente, pero no estoy seguro de que haya una forma sencilla de explicar la otra.
No es tan profundo: si $x$ se repite eventualmente, entonces podemos suponer (multiplicando por alguna potencia de $10$ ) que la iteración comienza inmediatamente después del punto decimal. Sea $n$ sea la longitud de la secuencia repetida de dígitos, entonces $10^nx$ tiene la misma secuencia de números que ocurren después del punto decimal, así que $10^nx-x=m$ es un número entero. Por lo tanto, $x=\frac m{10^n-1}$ es un racional.
Para un estudiante que esté familiarizado con la división larga, es fácil entender por qué un número racional tiene una expansión decimal que se repite: una vez que se pasan los dígitos iniciales del numerador, los dígitos se repiten siempre que el resto sea el mismo. Desgraciadamente, la división larga no está de moda en muchas escuelas secundarias hoy en día.
Muéstrales un simple decimal como 0.11000111100000111111... que tiene 1 cero, 2 unos, 3 ceros, 4 unos, 5 ceros, y así sucesivamente.
Esto nunca se repite.
Además, digamos que se demuestra que los números son irracionales asumiendo que son racionales y derivando una contradicción.
Tal vez pueda entonces dar una de las muchas pruebas que $\sqrt{2}$ es irracional.
También puedes utilizar el hecho de que una fracción debe repetirse por lo que el primer número de arriba no puede ser una fracción ya que tiene secuencias de ceros y unos secuencias de ceros y unos.
Parece que te has saltado algunos símbolos/letras en tu pregunta, pero el espíritu está ahí. Depende de lo que entiendas por "repetir". Si te refieres a terminar eventualmente en un $N$ -que se itera infinitamente, entonces se puede escribir la fracción que corresponde a ese número "irracional $\implies$ no es realmente irracional. Por ejemplo, $$0.8333 = 8/10 + 3/90 = 15/18.$$
También está la prueba canónica de que $\sqrt 2$ no es racional. Asúmelo. Entonces $\sqrt 2=p/q$ para $p,q\in\mathbb Z$ y $(p,q)=1$ . Entonces $$ 2=\frac{p^2}{q^2}\iff 2q^2=p^2\implies 2\mid p\implies 4\mid p^2. $$ Así que escribe $p^2=4r^2$ . Así, $2q^2=4r^2\implies 2\mid q$ que se contradice con $(p,q)=1$ . Esa es la prueba aproximada al menos.
Una forma de refutar su sugerencia de que "sólo hay dígitos posibles, así que al final deben empezar a repetirse" sería mostrarles la cadena: 0.10110111011110111110111111011111110.... y convencerles de que siempre pueden elegir una subcadena (por ejemplo '0'+'1'-(repetida n veces)+'0') que nunca se repetirá más allá de la cadena. Por lo tanto, la cadena nunca puede repetirse en su totalidad (que es lo que realmente estás tratando de mostrar). Si puedes convencerles de esto, no deberías tener problemas para convencerles de que con 10 dígitos es aún más fácil encontrar cadenas infinitas de dígitos que no se repiten.
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Tal vez se pueda explicar con más detalle lo que significa "repite" y "nunca repite". Por ejemplo, $0.1221112222111112\dots$ "nunca se repite".
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Sí... eso es difícil, con alumnos de secundaria. Suelo probarlo con mis alumnos de cálculo una vez que han aprendido secuencias y series.
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En este contexto, "los números irracionales nunca se repiten" no significa "ningún dígito ocurre más de una vez", sino "ninguna secuencia finita de dígitos ocurre periódicamente".
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En lugar de repetir, mencione periódicamente. Es más preciso, sin ambigüedades, y a la vez fácil de entender. Algo muy sencillo de demostrar es que si $x$ tiene una periodicidad, o finalmente expansión decimal periódica, entonces $x$ es racional. Por ejemplo, si $x=0.5632632632...$ entonces $1000x=563.2632632632...$ Así que $999x=562.7=5627/10$ etc. Así, si $x$ tiene una expansión que no es eventualmente periódica, debe ser irracional.
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En cuanto a $\sqrt 2$ Es un sitio muy bonito: cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
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Ahora bien, la pregunta (cómo saben...) es buena, en el sentido de que es Es más difícil demostrar resultados de irracionalidad que demostrar que un número es racional. Para números famosos como $\pi$ tardó miles de años. Para algunos números (como el de Euler $\gamma$ o como $\pi+e$ ) aún no lo sabemos.
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Y, si les interesa, se puede pasar a describir cómo se calculan los dígitos de, por ejemplo, $\pi$ son todavía objeto de trabajo. Véase, por ejemplo ams.org/notices/201307/rnoti-p844.pdf que comienza explicando parte de la historia (no sólo para $\pi$ ) antes de describir algunos de los resultados modernos. En particular, pueden disfrutar de la historia de Shanks (que calcula 707 dígitos de $\pi$ durante 15 años, teniendo casi 200 dígitos erróneos).