¿Existe la factorización siempre?

Question

En la definición de UFD, hay dos partes: existencia y unicidad. Es bien entendido que la propiedad de unicidad es útil por ejemplo, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. ¿Pero no es cierto que cada dominio integral debe satisfacer la propiedad de la existencia?

Existencia: Cada elemento en $R$ que no es ni cero ni unidad puede escribirse como producto de realizar.

Pero esto siempre es cierto, si un elemento no se puede descomponer como el producto es irreducible.

Answer 1

Para otro ejemplo, considere el anillo de enteros algebraicos. Si tratas de factor $2$ en este anillo, por ejemplo, verás que $2 = (\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{2})^3 = \cdots$ ya que es integral para cada $\sqrt[n]{2}$ $n$.