Encuentra un "límite superior" de una secuencia dada.

Question

Que $a1=5$ y que $$a{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-4an+6}$ $ encontrar el mayor entero $m$ no mayor que $a{2018}$, $m\leq a_{2018}$.

Mi ir: al parecer el límite debe satisfacer $$l=\frac{l^2}{l^2-4l+6}\Leftrightarrow l=0\vee l=3\vee l=2$$ Computing first few terms i see that $a_n\to 3$ as $n\to\infty$. The sequence seems to converge to 3, so i tried to show that $\forall n\geq 2,a_n\leq3$ proceeding by induction, we find that $a_1=5,a_2=25/11\approx2,27\leq3$. Now let $an\leq 3\Rightarrow a {n +1} = \frac {a_n ^ 2} {a_n ^ +6 2-4a_n} \leq\frac {9} {a_n ^ 2-4a_n +6} $ pero aquí estoy no atrapado otra vez, ninguna idea qué hacer con el denominador. Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

Escriba $b_n=an-3$. Entonces $$ b {n+1} =-3 + b_ {n+1} = \frac {-2a_n ^ 2 +12a_n-18} {a_n ^ 2-4a_n +6} = \frac{-2b_n^2}{b_n^2-2b_n+3}.$$ Si $bn$ es cerca de $0$, $b{n+1}$ es negativo y aproximadamente el $-2b_2^2/3$ y así que es incluso más cerca de cero. Por lo tanto si en cualquier lugar llega la secuencia $(an)$ $3$, convergerán rápidamente a $3$, desde abajo. Lo hace. Por lo tanto la parte entera de $a{2018}$ será $2$.

Answer 2

Supongamos que calculamos los puntos fijos de la iteración $x\mapsto\frac{x^2}{x^2-4x+6}$; los puntos fijos son 0, 2 y 3. Ahora analizar la estabilidad de los puntos fijos; un punto fijo $x_0$ $x\mapsto f(x)$ es estable (atractiva) si $|f'(x_0)|

El numerador de la derivada del mapa dado es $$2x(x^2-4x+6)-x^2(2x-4)$ $ $x=2$ esto es 8, y $x=3$ es 0. Además, esta expresión es no negativo $[2,3]$. Por lo tanto, desde $2<a_2 abajo="" al="" converge="" de="" desde="" despu="" la="" mon="" que="" secuencia=""></a_2>

Answer 3

Alt. sugerencia: evidentemente $\;a_n \ne 0\,$, entonces la inversión de ambos lados, se obtiene:

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=1 - 4 \frac{1}{a_n} + 6 \frac{1}{a_n^2} \quad\ffi\quad b_{n+1} = 6 b_n^2 - 4b_n + 1 \quad \estilo{font-family:inherit}{\text{donde}} \;\; b_{n} = \frac{1}{a_n} $$

Multiplicando por $\,6\,$ le da:

$$ 6 b_{n+1} = 36 b_n^2 - 24b_n + 6 = (6 b_n - 2)^2+2 \quad\ffi\quad c_{n+1} = c_n^2 \quad \estilo{font-family:inherit}{\text{donde}} \;\; c_{n} = 6 b_n - 2 $$

Desde $|c_1| = | 6 / a_1 - 2| = 4/5 \lt 1$ se sigue que $\,c_n \to 0\,$ lo $\,a_n \to 3\,$ desde abajo, a continuación, el mismo argumento que ya se hizo en otras respuestas se aplica para demostrar que $\,m = 2\,$.