Historia matemática: enfoque no riguroso que conduce a un resultado correcto

Question

Mi pregunta es,

En la historia de las matemáticas, ¿cuáles son algunos de los enfoques rigurosos que conducen a un resultado correcto?

Un ejemplo que se me ocurre es el de Euler, el enfoque inicial para resolver el problema de Basilea.

Su argumento es

Debido a $n\pi$ es una raíz de $\sin x$, lo $$\sin x=x(1+\frac{x}\pi)(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{2\pi})\cdots$$

La equiparación de la serie de Taylor y el producto de la serie de $\frac{\sin x}x$ y comparar los coeficientes de $x^2$, se obtiene $$-\frac1{\pi^2}\sum^\infty_{n=0}\frac1{n^2}=-\frac16$$, que soluciona el problema.

Obviamente, la expansión de la función en términos de sus raíces no siempre es correcta, y requiere la justificación de la factorización de Weierstrass teorema, que no estaba disponible en el momento.

¿Cuáles son algunas otras (famosa) ejemplos?

Answer 1

Sorprendentemente, no hubo ninguna definición lógica de $\Bbb R$ y no rigurosa de la fundación básicos de cálculo, hasta el siglo 19. En el siglo 18, algunos teólogos se burlaban de los matemáticos por su creencia en infinitesimals. Un vasto corpus de descubrimiento original que se logró con lo que, por estándares de hoy, no era un riguroso base. Aquí está un ejemplo de un estilo de prueba de que era perfectamente aceptable en el siglo 17:

Si $a_n\geq a_{n+1}\geq 0$ por cada $n\in \Bbb N$ e si $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, a continuación, $\lim_{N\to \infty}Na_N=0.$ PRUEBA: Por $M,N \in \Bbb N$ $M<N$ hemos $$0\leq Na_N=\frac {1}{1-\frac {M}{N}}(N-M)a_N\leq \frac {1}{1-\frac {M}{N}}\sum_{n=M+1}^Na_n.$$ Now if $M$ is infinitely large then $\sum_{n=M+1}^{\infty}a_n$ is infinitely small, and we have $0\leq\sum_{n=M+1}^Na_n\leq \sum_{n=M}^{\infty}a_n,$ so $\sum_{n=M+1}^N a_n$ is infinitely small. And when $N$ is infinitely larger than $M$ the value of $\frac {1}{1-\frac {M}{N}}$ is infinitely close to $1$.