Ejemplo de un operador en $L^2([0,1])$

Question

$f \in L^2([0,1])$, Definir el operador $Tf: x \mapsto \frac{1}{x}\int_0^x f(y)dy$. Muestran que $T$ no es un operador compacto en $L^2([0,1])$ y limita que $T$.

Para la segunda parte, puedo mostrar $T$ Linda mirando $|Tf|_2$ y reescritura por integración por partes y luego aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz. Sin embargo, no pude encontrar una secuencia limitada de $L^2$ funciones para que su imagen bajo $T$ no es precompact en $L^2$.

Cualquier ayuda se agradece enormemente.

Answer 1

$fn(x) = \sqrt n \chi{(0, \frac 1 n]}(x)$ Tenemos\begin{eqnarray} Tf_n(x) & = & \frac 1 x \int0^x\sqrt n\chi{(0, \frac 1 n]}(y)\; {\rm d} y\ & = & \begin{cases} \sqrt n & \text{ if }0 & 1. \end{eqnarray }

Answer 2

Otro método utiliza la secuencia $fn = \sqrt{n}\chi{[0, 1/n]}$.

Aquí se muestra que el $(f_n)_n$ converge a $0$ débil:

• $|f_n|_2 = 1, \forall n\in\mathbb{N}$ modo limita $(f_n)_n$
• $g \in L^\infty[0,1] \cap L^2[0,1]$ $$|\langle fn, g\rangle| \le | g |\infty \cdot \sqrt{n} \int0^{1/n}! dx = \frac{| g |\infty}{\sqrt{n}} \to 0$ $ y $L^\infty[0,1] \cap L^2[0,1]$ es densa en $L^2[0,1]$.

Si $T$ eran compacto, mapa débilmente convergentes secuencias secuencias fuertemente convergente por lo cual tendríamos $Tf_n \to 0$ fuertemente.

$|Tf_n|_2 = \sqrt{2-\frac1n}$ Que no convergen a $0$.