Cálculo de Laplace-Beltrami operador en un conformemente equivalente métrico

Question

Podría alguien decirme donde estoy equivocado con el siguiente elementales de cálculo? Dado un suave Riemann colector $(M, g)$, me gustaría probar que si $\tilde{g}$ es conformemente equivalente a $g$ (es decir, $\tilde{g} = e^{2w}g$ para algunos liso función de $w$),$\Delta_{\tilde{g}} = e^{-2w}\Delta_g$. Ahora, recordando que la de Laplace-Beltrami operador $\Delta_g$ se define como (o mejor, esta es una posible definición)

$$\Delta_g:=g^{ij}\left(\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} - \Gamma^k_{i j}\frac{\partial }{\partial x_k}\right).$$

Con primaria cálculos, he obtenido (y estoy bastante seguro de que, al menos esta, que es justo...)

$$\tilde{\Gamma}^k_{ij} = \Gamma^k_{ij} - \left(\delta_{ik}\frac{\partial w}{\partial x_j} + \delta_{kj}\frac{\partial w}{\partial x_i} - g^{k\ell}g_{ij}\frac{\partial w}{\partial x_{\ell}}\right),$$

donde $\tilde{\Gamma}^k_{ij}$ son los símbolos de Christoffel la de Levi-Civita de la conexión asociada a la métrica de $\tilde{g}$ $\delta_{ij}$ es el de Kronecker $\delta$. En este punto, he

$$ \Delta_{\tilde{g}} = e^{-2}\Delta_g + e^{-2}g^{ij}\left(\delta_{ik}\frac{\partial w}{\partial x_j} + \delta_{kj}\frac{\partial w}{\partial x_i} - g^{k\ell}g_{ij}\frac{\partial w}{\partial x_{\ell}}\right)\frac{\partial}{\partial x_k} $$

Pero

$$ g^{ij}\delta_{ki}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_k} = g^{ij}\frac{\partial w}{x_j}\frac{\partial }{\partial x_i}, $$

$$ g^{ij}\delta_{kj}\frac{\partial w}{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial x_k} = g^{ij}\frac{\partial w}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} \stackrel{i \leftrightarrow j}{=} g^{ji}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i} \stackrel{g^{ji} = g^{ij}}{=} g^{ij}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i}, $$

$$ \underbrace{g^{ij}g_{ij}}_{= g^{ij}g_{ji} = 1} g^{k\ell} \frac{\partial w}{\partial x_{\ell}}\frac{\partial }{\partial x_k} = g^{i j}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i}. $$

Es decir, uno de los últimos términos parece sobrevivir. Donde estoy equivocado?

Answer 1

La relación propuesta $$\Delta_{\tilde{g}} = e^{-2w} \Delta_g$$ sólo se mantiene para las superficies. En su cálculo final, asumiendo $M$ es una superficie, usted debe tener $g^{ij} g_{ij} = 2$, por lo que el término final es \begin{align*} e^{-2w}g^{ij}\left(\delta_{ik}\frac{\partial w}{\partial x_j} + \delta_{kj}\frac{\partial w}{\partial x_i} - g^{k\ell}g_{ij}\frac{\partial w}{\partial x_{\ell}}\right)\frac{\partial}{\partial x_k} & \\ = g^{i j}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i} + g^{i j}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i} - 2g^{i j}\frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i} & = 0. \end{align*}

Un enfoque más sencillo que evita el uso de símbolos de Christoffel o jugando con los índices es el uso de la fórmula $$\Delta_g = - \frac{1}{\sqrt{|\det g|}} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \sqrt{|\det g|} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^i} \right).$$ Con esta fórmula, puede calcular \begin{align*} \Delta_{\tilde{g}} & = - \frac{1}{e^{dw}\sqrt{|\det g|}} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( e^{dw} \sqrt{|\det g|} e^{-2w} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \\ & = - \frac{e^{-dw}}{\sqrt{|\det g|}} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( e^{(d-2)w} \sqrt{|\det g|} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \\ & = - \frac{(d-2)e^{-2w}}{\sqrt{|\det g|}} \frac{\partial w}{\partial x_j} \sqrt{|\det g|} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^i} - \frac{e^{-2w}}{\sqrt{|\det g|}} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \sqrt{|\det g|} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \\ & = \Delta_g - (d-2)e^{-2w} g^{ij} \frac{\partial w}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x^i}, \end{align*} por lo $\Delta_{\tilde{g}} = e^{-2w} \Delta_g$ sólo tiene al $d = 2$. (Obtendrá la misma fórmula cuando usted correctamente estado $g^{ij}g_{ij} = d$ en su trabajo anterior).

Answer 2

Para Riemann colectores de dimensión $d$, $g^{ij}g_{ji} = d$. Esto significa que su fórmula funciona, pero sólo en la dimensión dos.

Hay una expresión alternativa para la de Laplace-Beltrami operador que implican $\sqrt{\det g}$ que le da el factor de $d-2$ directamente.