¿Qué es

Question

¿Cuál es la brecha$\log(n+1)-\log(n)$ entre el registro de enteros consecutivos? ¿Eso es qué precisión de los logaritmos determina los números enteros correctamente?

Answer 1

$\log(n+1)-\log n=\log(1+\frac1n)$. Usando la serie de Taylor para$\log(1+x)$, esto es$$\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\approx\frac1n.$ $

Answer 2

Especialmente la respuesta de Lime es absolutamente correcta y un muy buen enfoque. Permítanme mostrar una conceptualmente más simple, que solo usa la derivada, a saber,$(\log x)'=1/x$. Esta es una función estrictamente decreciente, por lo que$\log x$ es cóncava. En particular, su gráfica está debajo de la línea tangente en cualquier punto del gráfico.

Obtenemos$\log (n+1)< \log n + 1/n$ y$\log n< \log (n+1) - 1/(n+1)$. Para resumir:

ps

Answer 3

Esto es bastante similar a las respuestas anteriores, pero creo que todavía vale la pena señalar. Está preguntando sobre la pendiente de un acorde de la gráfica de$\log x$, el acorde que se une$(n,\log n)$ a$(n+1,\log(n+1))$. Por el teorema del valor medio, esto equivale a la pendiente de la recta tangente,$1/x$, a algún$x$ entre$n$ y$n+1$.

Answer 4

Recién agregado por curiosidad.

Con el mismo espíritu que en otras respuestas, en lugar de las series de Taylor, podrías considerar aproximadores de Padé y obtener cosas como$$\log(n+1)-\log n=\log\left(1+\frac1n\right) \approx \frac{2}{2 n+1}$ $$$\log(n+1)-\log n=\log\left(1+\frac1n\right) \approx \frac{6 n+3}{6 n^2+6n+1}$ $$$\log(n+1)-\log n=\log\left(1+\frac1n\right) \approx \frac{60 n^2+60 n+11 } {60 n^3+90 n^2+36 n+3 }$ $$$\log(n+1)-\log n=\log\left(1+\frac1n\right) \approx \frac{420 n^3+630 n^2+260 n+25 }{420 n^4+840 n^3+540 n^2+120 n+6 }$ $

Estos son, respectivamente, equivalentes a las series de Taylor a$O\left(\frac{1}{n^3}\right)$,$O\left(\frac{1}{n^5}\right)$,$O\left(\frac{1}{n^7}\right)$ y$O\left(\frac{1}{n^9}\right)$.

Answer 5

He aquí una forma geométrica para obtener una buena aproximación para $\ln(n+1)-\ln(n)$:

Utilice el hecho de que $\ln(x)=\int_1^x \frac1t dt$. (Para $x>0$.)

A continuación, $\ln(n+1)-\ln(n)$ es el área bajo la curva de $f(x)=\frac1x$$n$$n+1$.

Estamos buscando para el área en un intervalo de longitud de $1$. Así numéricamente el área debe ser igual a la 'media' de altura. Debido a que el $\frac1x$ función es estrictamente decreciente, podemos obtener una buena aproximación a la 'media' de altura mediante la evaluación de la $\frac1x$ función en el punto medio del intervalo (es decir, en $n+\frac12$).

Por lo $\ln(n+1)-\ln(n)\approx \frac{1}{n+\frac12}$, con la aproximación cada vez mejor y mejor como $n$ se hace grande.