Yo estoy trabajando en el siguiente problema de Conway V. 4.
Deje $X$ ser compacto y supppose hay una norma en $C(X)$ que es dado por un producto interior de decisiones $C(X)$ en un espacio de Hilbert tal que para cada a $x \in X$ funcional $\Lambda_x : f\mapsto f(x)$ es continua con respecto al espacio de Hilbert norma. Espectáculo $X$ es finito.
La Idea de enfoque: creo que tenemos que asumir $X$ es infinito y llegar a algún tipo de contradicción.
Los hechos señaló:
$\text{ball}{(C(X))}$ es débilmente compacto.
$X^* \subset C(X)$, $X^*$ definitivamente es un subespacio, y si es cerrado bajo la norma inducida por el producto interior tenemos $X^*$ es de Hilbert y, por tanto, reflexiva. (Ya no estoy seguro de la closedness de $X^*$ bajo la norma, no estoy seguro de si esto podría ser útil.)
La hipótesis es que nos permite extender la noción de un débil-$*$ topología en $X^*$$C(X)$.
La continuidad de la $\Lambda_x$'s y Riesz Rep teorema implica que hay un $g \in C(X)$ tal que $\Lambda_x(f) = \langle f,g \rangle = |f(x)| \leq M \langle f,f\rangle^{1/2}$.
No estoy del todo seguro de cómo poner estas piezas juntas. Tenía la esperanza de tener un $X \supset \{x_n\}$$x_n \to x$, y por la debilidad de la compacidad tenemos para cualquier secuencia $\{f_j\} \subset \text{ball}(C(X))$ hay una larga tal que $f_{j_k}$ converge débilmente a algunos $f \in \text{ball}(C(X))$, que, según nuestra hipótesis implica que $f_{j_k}(x_n) \to f(x_n)$$k \to\infty$. También sabemos que $f_{j_k}(x_n) \to f_{j_k}(x)$$n\to \infty$. Pero no hay nada de contradictorio puedo ver que viene a partir de esta observación. Todas las sugerencias se agradece. Gracias.
Edit: tampoco del todo seguro de cómo $X$ compacto encaja exactamente, como creo que no me he tomado ventaja de que el hecho de que en mis observaciones, excepto para afirmando que existe una secuencia convergente.
