¿Cómo obtener la región sombreada del rectángulo?

Question

Tengo este problema:

Así que mi desarrollo fue:

Denota el lado del rectángulo con: $2a, 2b$ .

Así que, $4ab= 64, ab = 16$

Denote la región sombreada con $S$

Denota el área del triángulo $DGH = A_1$ y el triángulo $FBE = A_2$ .

Así que, $A_1 + A_2 + S = 64$

$S = 64 - A_1 - A_2$

Los triángulos $A_1, A_2$ son congruentes porque $LAL$ criterio de congruencia.

El área de $A_1$ y $A_2$ es lo mismo y lo conseguí de esta manera:

Ya que, el $\angle{GDH} = 90$ y la mediana de este ángulo a la base $HG$ es decir, la altitud del triángulo $DGH$ , medirá la mitad de la $HG$ lado.

Y el $HG$ lado por el teorema de Pitágoras, será $\sqrt{a^2 + b^2}$ que será la base del triángulo.

Y la altitud será: $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} $ ,

Así que el Área de $A_1 = \frac{a^2 + b^2}{4}$

Así que, $A_1 + A_2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Entonces, $64 - (\frac{a^2 + b^2}{2}) = S$

Y, $-(a^2 - 8ab + b^2) = 2S$

Y no he podido continuar desde aquí, ¿qué debo hacer? Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista:

• hay ocho pequeños triángulos rojos todos con la misma área

• seis de ellos están sombreados

Answer 2

El área de la región sombreada del rectángulo es el área del rectángulo menos la suma de las áreas de los triángulos rectos $BEF$ y $DGH$ . Ahora, si se pegan estos triángulos a lo largo de sus hipotenusas, se obtiene un rectángulo con dimensiones de la mitad del rectángulo grande, por lo tanto con área igual a ¼ de área del rectángulo grande.

Por lo tanto, el área requerida es ¾ del área grande, es decir $\color{red}{48}$ .

Answer 3

Si observas que si combinas dos triángulos rectángulos entonces ocupan el área de $\dfrac14$ de la superficie total.

Por lo tanto, el área de la región sombreada es $=64-\dfrac14(64)=64-16=48$

Answer 4

Una pista. Como los triángulos que conectan los puntos medios con los vértices son todos congruentes, tenemos:

$$\color{grey}{A}=64-2A_{DHG}$$ $$\color{grey}{A}=2A_{DHG}+A_{GHEF}$$

Sumando las dos relaciones:

$$2\color{gray}{A}=64+A_{GHEF}$$

Pero, $A_{GHEF}=\frac{A_{ABCD}}{2}$ (Dejaré que tú mismo descubras el porqué como un ejercicio (fácil)), y por lo tanto:

$$\color{gray}{A}=\frac{96}{2}=48$$

Answer 5

Por Teorema del punto medio El área del triángulo DHG es $\frac{1}{4}$ del triángulo ACD. Entonces, $$ar(DHG)=0.25*ar(ACD)=64/(2*4)=8$$

Por simetría, ar(región no sombreada)= $8*2=16$ Entonces, ar(Región sombreada)= $64-16=48$