Calcula

Question

Quiero calcular$$\lim_{x\to \infty }\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+x)}.$ $

¿Puedo hacer lo siguiente? Considere el espacio mensurable$(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N),\mu)$ donde$\mu(A)=\#A$. Luego,$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+x)}=\int_{\mathbb N}\frac{1}{n(n+x)}d\mu(n).$ $ Supongamos$|x|\geq 1$. Entonces$$\left|\frac{1}{n(n+x)}\right|\leq \frac{1}{n(n+1)}\in L^1(\mathbb N),$ $ y por lo tanto, usando DCT, finalmente obtenemos$$\lim_{x\to \infty }\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+x)}=\sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to \infty }\frac{1}{n(n+x)}=0.$ $

Funciona ?

Answer 1

Sí, la prueba está bien (al menos modulo cactus comentario: Usted realmente necesita para reducir a una secuencia antes de aplicar la DCT. Esta no es la gran cosa, la gente aplica la DCT a $\lim_{x\to\infty}$ todo el tiempo, porque está claro que $\lim_{x\to \infty}I_x=I$ si y sólo si $\lim_{n\to\infty}I_{x_n}=I$ por cada secuencia $x_n$$x_n\to\infty$.)

Por supuesto, hay una forma muy sencilla más elemental argumento, que me escriba, porque lleva a Algo muy Interesante en la parte inferior:

Primaria Argumento: Vamos A $\epsilon>0$. Elija $N$, por lo que $$\sum_{n=N+1}^\infty\frac1{n^2}<\epsilon.$$Now for every $x>0$ tenemos $$\sum_1^\infty\frac1{n(n+x)}<\epsilon+\sum_1^N\frac1{n(n+x)};$$since $N$ is fixed it follows that $\sum_1^\infty<2\epsilon$ if $x$ es lo suficientemente grande.

Algo Interesante: Ejercicio 1 Generalizar el argumento anterior para dar una primaria de la prueba de la DCT para coutning medida en $\Bbb N$.

Ejercicio 2 Muestran que la DCT para medir el espacio que sigue a partir Egoroff del Teorema, por un argumento análogo al argumento anterior.

Me gusta la prueba de la DCT a través de Egoroff - al menos a mí me da una imagen mucho mejor de "¿por qué es realmente cierto", a continuación, la prueba de Fatou del Lemmma que ves en todos los libros.

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, el OP enfoque es en gran parte cierto, es el único defecto es que la DCT es generalmente establecido para las secuencias de funciones, no de un continuum de ellos, por lo que la prueba necesita un paso adicional a lo largo de las líneas de

$$\lim_{x\to\infty}\sum{1\over n(x+x)}\le\lim_{x\to\infty}\sum{1\over n(x+\lfloor x\rfloor)}=\lim_{m\to\infty}\sum{1\over n(n+m)}$$

(donde $m$ es entendida como una variable de tipo entero).

Así como un ejercicio de comprensión de la DCT, este es un buen ejemplo.

Para lo que vale, aquí es otra alternativa a la que muestra el límite de es $0$: Por la media Aritmética-Media Geométrica de la desigualdad, tenemos $n+x\ge2\sqrt{nx}$, y por lo tanto

$$\sum{1\over n(n+x)}\le{1\over2\sqrt x}\sum{1\over n^{3/2}}$$

Answer 3

En el mismo espíritu que A. Pongrácz en su respuesta, después de la descomposición parcial de la fracción$$S_x=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+x)}=\frac{H_x}{x}$ $ Usando las asintóticas de los números armónicos, tenemos $$ S_x = \ frac {\ gamma + \ log \ left ({ x} \ right)} {x} + \ frac {1} {2 x ^ 2} - \ frac {1} {12 x ^ 3} + O \ left (\ frac {1} {x ^ 5} \ right )$$ which seems to be quite good even for small values of $ x $.

Por ejemplo,$$S_{10}=\frac{7381}{25200}\approx 0.29289683$ $, mientras que la expansión anterior da$$\frac{59}{12000}+\frac{1}{10} (\gamma +\log (10))\approx 0.29289674$ $

Answer 4

No estoy seguro si he entendido lo que escribió. Pero estoy bastante seguro de que no necesita a la medida que usted define, de hecho o de un complicado cálculo.

La función de $f(x):= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+x)}$ es claramente estrictamente monótona decreciente y no negativo. Así que el límite existe y en el hecho de $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)$ es el límite de la secuencia de $\lim\limits_{m\rightarrow \infty} f(m)$ donde $m$ se ejecuta a través de los enteros positivos.

Así podemos restringir nuestra atención a los enteros positivos $x$. A continuación,$\frac{1}{n(n+x)} = \frac{1}{x} (\frac{1}{n}- \frac{1}{n+x})$. La suma de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}- \frac{1}{n+x}$ es una suma telescópica, su valor es $\sum\limits_{n=1}^x \frac{1}{n} \approx \log x$. Por lo $f(x)\approx \frac{\log x}{x}$, lo que tiende a cero, como se $x$ tiende a infinito.