Iones

Question

Estamos creando una circular de concentradores que consta de cargo 0 y 1 partículas uno al lado del otro, comenzando con cuatro de ellos: 0, 1, -0 y -1 en este orden. Cada 1 seg. se selecciona aleatoriamente uno de cada clase y agregar lo siguiente a la última. Cada vez que un 0 la partícula se encuentra junto a una -0 o partículas de 1 junto a un -1, ambos desaparecen. Suponiendo que es igualmente probable para seleccionar cada uno de los 4 tipos, ¿cuál es la probabilidad de que en algún momento el hub se desvanece por completo?

Supongo que no es tan fácil como

$\frac {1}{4}.\frac {1}{3}.\frac {1}{2}$ , ¿verdad?

No puedo entender de otra cosa...

Alguna ayuda?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, la solución de abajo es para el caso cuando las partículas están dispuestas en una línea, en lugar de circular. Así que por favor, modifique la prueba a continuación.

A simplyfy la definición del proceso, en cada paso tenemos las siguientes posibilidades. Ya sea con una probabilidad de $1/4$ de la longitud disminuye en 1, o con probabilidad de $3/4$, los aumentos de longitud por 1. Así que este es un desequilibrado Borracho caminando (una de las más básicas de las cadenas de Markov hay) en una infinidad de estados indexados por los enteros no negativos. Su estado inicial es $4$, y el único estado de absorción es de 0. Tu pregunta es la probabilidad de absorción.

Esto puede ser calculada utilizando el estándar de la teoría de cadenas de Markov.

Deje $p$ la probabilidad de que a partir de un estado dado $n\geq 1$ usted en algún punto de llegar a $n-1$. Tenga en cuenta que esta $p$ es independiente de $n$. Así que a partir de la ley de total probabilidad (basado en el caso de la distinción que el primer movimiento es a la izquierda o a la derecha) tenemos

$$p= \frac{1}{4}\cdot 1 + \frac{3}{4}\cdot p^2$$

Prueba: si el primer movimiento es hacia la izquierda, luego hemos terminado (es decir, la probabilidad es de 1 en este caso). Si el primer movimiento es a la derecha, entonces tenemos que llegar a $n-1$$n+1$. Esto es equivalente a llegar a $n$ $n+1$ y, a continuación, llegar a $n-1$$n$, por lo tanto la probabilidad es $p^2$.

Por lo $3p^2-4p +1 = 0$, o lo que es equivalente, $(3p-1)(p-1)=0$. Por lo tanto $p=1$ o $p=1/3$. Es fácil ver que $p$ no $1$, lo $p=1/3$.

(Hay otro argumento: considerar el estado finito Borracho caminando con las mismas probabilidades de transición a partir del estado de $1$. A continuación, hay un conocido cerrado fórmula para la probabilidad de absorción, que tiende a $1/3$ como el número de estados que tiende a infinito.)

Así podemos avanzar un paso a la izquierda con probabilidad de $1/3$. Por lo tanto, para alcanzar nunca el estado que es de cuatro pasos a la izquierda desde el estado inicial, ha probabilidad de $(1/3)^4=1/81$.

Answer 2

Entiendo que el procedimiento de la siguiente manera:

Tenemos una secuencia de partículas que comienza como $0$, $1$, $-0$, $-1$. Seguimos añadiendo partículas a la final de esta secuencia. La secuencia es circular en el sentido de que la partícula se considera adyacente a la primera partícula, por lo que potencialmente puede desaparecer juntos si coinciden. Incluso si las partículas de los extremos de la secuencia de desaparecer, nuevas partículas siempre se agregan al final de la secuencia.

Entonces la probabilidad de que todas las partículas se desvanecen con el tiempo es $1$. En cada paso, tenemos la probabilidad de $\frac12$ de al menos un par de partículas de fuga (desde los extremos de la secuencia son de dos tipos diferentes y nos uniformemente escoger al azar a uno de cuatro tipos). Más de un par de partículas podrían desaparecer en un solo paso si el nuevo termina también coinciden, pero no podemos ignorar que, desde una probabilidad de $\frac12$, por un partido, por el paso ya es suficiente. El número de partículas en la secuencia es una visión sesgada de paseo aleatorio con probabilidad de $\frac12$ de dar un paso $-2$ y la probabilidad de $\frac12$ de dar un paso $+1$. Una visión sesgada de paseo aleatorio casi seguramente se desvía hacia el lado de la tendencia, de modo que la secuencia de casi seguramente se desvanece completamente. Esto incluso podría ser cierto si hubo un par adicional, $2$$-2$, ya que nos gustaría, a continuación, dar un paso $-2$ con una probabilidad de $\frac13$ y un paso $+1$ con una probabilidad de $\frac23$, por lo que el valor esperado de la etapa podría ser $0$ y el paseo aleatorio todavía sería casi seguramente llegar a cualquier punto dado.