Sorprendente aplicaciones de cohomology

Question

El concepto de cohomology es uno de los más sutiles y de gran alcance en la matemática moderna. Mientras que su aplicación a la topología y la integrabilidad es inmediata (probablemente fue cómo cohomology nació en el primer lugar), hay muchos más campos en los que cohomology es, al menos, un muy interesante punto de vista. Grupo cohomology es un famoso, y, por ejemplo, ayuda en el estudio de las extensiones.

Aquí son buenos puntos acerca de la "filosofía" detrás de cohomology. Aquí son muy buenas, pero avanzado, ideas sobre lo que cohomology "realmente es".

Me gustaría hacer algo un poco diferente:

¿Cuáles son los más inesperados de las aplicaciones de cohomology, o de cohomology relacionados con las ideas? ¿Por qué es cohomology útil/importante/interesante cuando se aplica a estos problemas?

Punto de bonificación para aplicaciones del mundo real, o al menos fuera de álgebra/geometría/física teórica.

Actualización: Vaya, parece que hay una muy similar pregunta aquí, con hermosas respuestas.

Answer 1

Aquí es un ridículo aplicación de cohomology: una prueba de $$\sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1)^j=0.$$

Deje $X=(S_1)^n$ $n$- dimensiones toro. Por el Künneth fórmula, $H^j(X, \mathbf Q)$ tiene dimensión ${n \choose j}$. Por lo tanto, la característica de Euler de $X$ es

$$\chi(X)=\sum_{j=0}^n (-1)^j \mathrm{dim}_{\mathbf Q}H^j(X, \mathbf Q) = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1)^j.$$

Por otro lado, $X$ es un compacto de Lie del grupo; deje $\sigma$ ser un infinitesimal de traducción de $X \to X$. Por el Lefschetz teorema de punto fijo, $\chi(X)$ es igual al número de puntos fijos de $\sigma$, es decir, $0$.

Answer 2

Todo depende de qué se entiende por sorpresa. Este es tal vez no es tan sorprendente que, en retrospectiva, pero para mí, que las conjeturas de Weil se ha comprobado por étale cohomology es una fantástica aplicación. Cohomology ha tenido un gran impacto sobre las preguntas en la teoría de números y seguramente (diferente forma de cohomologies!) seguirá un papel importante.