Valores propios de una matriz con la repetición de patrón de entradas

Question

He observado que si

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

con los no-cero autovalores $\alpha$$\beta$, luego

$$\begin{bmatrix} A & A\\ A & A \end{bmatrix}$$

tiene los autovalores $2 \alpha$, $2 \beta$, y $0$. También,

$$\begin{bmatrix} A & A & A \\ A & A & A \\ A & A & A \end{bmatrix}$$

tiene los autovalores $3 \alpha$, $3 \beta$, $0$. Por lo tanto, mi conjetura es que para algunos $r$, $A^{[r]}$ tiene los autovalores $(r+1) \alpha$, $(r+1) \beta$, $0$.

Es correcto? Hay algunos teoremas relacionados con este? Cómo acerca de sus vectores propios? Puede usted por favor enviarme los enlaces que me puede ayudar con este tipo de problema?

PS. Esta es mi primera vez preguntando aquí. Yo soy de pregrado estudiante de matemáticas. Por favor me ayude. Gracias u mucho.

Answer 1

Vamos

$$\begin{bmatrix} \mathrm A & \mathrm A & \dots & \mathrm A\\ \mathrm A & \mathrm A & \dots & \mathrm A\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \mathrm A & \mathrm A & \dots & \mathrm A\end{bmatrix} = 1_k 1_k^\top \otimes \mathrm A$$

ser un $k \times k$ bloque de la matriz, donde $\otimes$ denota el producto de Kronecker. Deje que el espectro de $\rm A$$\{\alpha,\beta\}$.

Dado que los valores propios de rango-$1$ matriz $1_k 1_k^\top$ $0$ (con multiplicidad $k-1$) y $k$ (con multiplicidad $1$), entonces los valores propios de bloque de la matriz $1_k 1_k^\top \otimes \mathrm A$

• $0$ con multiplicidad $2 k - 2$.
• $k \alpha$ con multiplicidad $1$.
• $k \beta$ con multiplicidad $1$.

Answer 2

Sí, su conjetura es correcta. Supongamos que $A$ $n\times n$ matriz y que considere la posibilidad de la $(nm)\times(nm)$ matriz $$ B=\begin{bmatrix}A&A&\dots&A\\ A&A&\dots&A\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A&A&\dots&A \end{bmatrix} $$ que es un bloque de la matriz que consta de $m\times m$ copias de $A$.

Podemos determinar los valores propios de esta matriz por la inspección. Primero nos tenga en cuenta que $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$. Esto se deduce del hecho de $B$ tiene un montón de copias de las mismas filas. De hecho, si $i$ $j$ ha $i\equiv j\pmod n$, entonces las filas $i$ $j$ son copias unos de otros. Poner esto juntos, con una simple fila de las operaciones, podemos fila reducir el $B$ a $$ \begin{bmatrix}A&A&\dots&A\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&0 \end{bmatrix} $$ Entonces, podemos observar que los rangos de $A$ $B$ son los mismos. Por otra parte, esta reducción de la fila expone que, al menos, $n(m-1)$ autovalores de a$B$$0$. (Normalmente, la fila de operaciones lío autovalores, pero esto no sucede con cero autovalores)

Ahora, vamos a tratar con los autovalores de a $A$. Supongamos que $\lambda$ es un autovalor de a $A$ con autovector $v$. Ahora, considere el vector $$ w=\begin{bmatrix} v\\v\\\vdots\\v \end{bmatrix} $$ consta de $m$ copias de $v$. Entonces $$ Bw=\begin{bmatrix}A&A&\dots&A\\ A&A&\dots&A\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A&A&\dots&A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v\\v\\\vdots\\v \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} Av+Av+\dots+Av\\ Av+Av+\dots+Av\\ \vdots\qquad\vdots\\ Av+Av+\dots+Av \end{bmatrix}, $$ donde cada uno de los bloques de la fila ha $m$ copias de $Av$. En otras palabras, esto se simplifica a $$ \begin{bmatrix} mAv\\ mAv\\ \vdots\\ mAv \end{bmatrix}. $$ Desde $v$ es un autovector de a $A$, podemos simplificar aún más a $$ \begin{bmatrix} m\lambda v\\ m\lambda v\\ \vdots\\ m\lambda v \end{bmatrix}=m\lambda w. $$ Por lo tanto, $m\lambda$ es un autovalor de a $A$.

Ahora, usted tiene que convencerse de que no hemos doble contados, pero se los dejo para usted. Si quieres, intenta encontrar los vectores propios de los ceros hemos encontrado anteriormente y observar que los vectores propios son en distintos espacios. Sugerencia: si $i\equiv j\pmod n$, utilizar el vector que es $1$ en la fila $i$, $-1$ en la fila $j$, y cero en otro lugar.