Conjunto de Cantor con pares de puntos identificados

Question

Considerar el medio tercios conjunto de Cantor en $[0,1]$. Quiero identificar los puntos de la siguiente manera.

En primer lugar, identificar los dos puntos de $1/3$$2/3$.

Entonces, idenfity $1/9$$2/9$, y también identificar a $7/9$$8/9$.

En el tercer paso será la de cuatro pares de puntos: $1/27\sim 2/27$; $7/27\sim 8/27$; $19/27\sim 20/27$; $25/27\sim 26/27$.

De continuar.

Esencialmente estoy apretando juntos el consecutivo de las lagunas en el conjunto de Cantor. Me gustaría saber de el espacio resultante es homeomórficos a $[0,1]$.

Answer 1

Sí. Se puede ver esto muy cuidadosamente con un mapa explícito. Que $K$ denotan el conjunto de Cantor. Dado un elemento $$x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2a_n}{3^n}\in K$$ where $an=0$ or $1$ for each $n$, let $$f(x)=\sum{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^n}.$$ That is, $f$ takes the ternary expansion of $x$ using $0$s and $2$s, replaces each $2$ with a $1$, and considers it as a binary expansion. Then $f:K\to [0,1] $ is a surjection that is easily checked to be continuous. Since $K $ is compact and $ [0,1] $ is Hausdorff, it follows that $f$ es un mapa del cociente. Por último, la correspondiente relación de equivalencia es exactamente la que describes, ya que los pares que están identificando exactamente los pares cuyos ternarios expansiones corresponden a las dos expansiones diferentes binarias de algunos dyadic racional.