Distancias y velocidades

Question

Alice y Bob comenzaron a caminar hacia la casa del otro y luego de vuelta a la suya, con velocidades constantes. Alice pasó por una estación de autobuses a 25 m de su casa, mientras que al mismo tiempo Bob pasaba por un coche viejo abandonado. Después, se encontraron a 55 m de la casa de Bob y luego volvieron a encontrarse a 85 m de la casa de Alice. ¿Cuál es la distancia entre la estación de autobuses y el coche abandonado?

Este debe ser un problema fácil, pero hace años que no me ocupo de las matemáticas y la física.

Tratando de establecer las ecuaciones:

Si x es la distancia requerida, S la distancia entre las casas de Alice y Bob y $t_1$ unidades de tiempo transcurridas desde que empezaron a caminar y hasta que se encontraron por primera vez con el autobús y el coche, también $V_1$ y $V_2$ La velocidad de Alice y Bob, respectivamente:

$V_1.t_1 + x + V_2.t_1 = S$

$V_1.t_1 = 25$

Luego se reunieron después de $t_2$ unidades de tiempo:

$V_1.t_2 + V_2.t_2 = S$ y

$V_2.t_2 = 55$

Finalmente se reunieron de nuevo después de $t_3$ unidades de tiempo:

$V_1.t_3 + V_2.t_3 = 3S$ (porque cada uno recorrió S más su parte de S).

También $V_2.t_3 = S + 85$

¿Y luego qué? Al parecer, ¡me falta una ecuación!

¡Muchas gracias!

Answer 1

Usted tiene $V_1t_2=S-55 $ , $V_2t_2=55$ , $V_1t_3=2S-85$ , $V_2t_3=S+85$ . Por lo tanto, $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S-55}{55}=\frac{2S-85}{S+85} $$ Así, $$55(2S-85)=(S+85)(S-55)=S^2+30S-85\cdot 55 $$ $$\Rightarrow 110S=S^2+30S\Rightarrow S=80 $$ (suponiendo que $S>0$ ). En particular $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{25}{55} $$ y así la distancia entre el autobús y el coche es $$80-25-25\cdot \frac{55}{25}=0 $$

EDIT: Esta solución no es aceptable (y no es la solución prevista) porque si la distancia entre la casa de Alice y la de Bob es $80$ y sólo se mueven entre las casas de cada uno, no pueden encontrarse $85$ metros de la casa de Alice. La ecuación $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S-55}{55} $$ es correcta porque el primer encuentro se producirá necesariamente antes de que tanto Alicia como Bob hayan completado su primer viaje. Sin embargo, para el segundo encuentro hay otros casos posibles:

1) Puede ser que se encuentren de nuevo antes de que Alice haya llegado a la casa de Bob en su primer viaje. En este caso, el segundo encuentro se produce cuando en total Alice ha viajado $85$ metros y Bob ha viajado $S+85$ metros. Obtenemos $$ \frac{V_1}{V_2}=\frac{S-55}{55}=\frac{85}{S+85}\Rightarrow S^2+30S-2\cdot 55\cdot 85=0$$ una ecuación cuadrática cuya raíz positiva es $$ S=5(\sqrt{383}-3)\approx 82.85$$ Desde $82.85<85$ Esta solución también es inaceptable.

2) El caso restante es aquel en el que se reencuentran antes de Bob ha llegado a la casa de Alice en su primer viaje. Aquí en el segundo encuentro en total Bob ha viajado $S-85$ metros, mientras que Alice ha viajado $2S-85$ metros. Obtenemos $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S-55}{55}=\frac{2S-85}{S-85} \Rightarrow S^2-250S+2\cdot 55\cdot 85=0$$ una ecuación cuadrática con raíces $5(25\pm \sqrt{251})$ de los cuales sólo
$$S=5(25+\sqrt{251})\approx 204 > 85 $$ es aceptable porque $5(25-\sqrt{251})<85$ . La distancia entre el autobús y el coche es entonces \begin{align*}x&=S-25-25\cdot\frac{V_2}{V_1}=S-25-25\frac{55}{S-55}=\frac{(S-25)(S-55)-25\cdot 55}{S-55}=\frac{S^2-80S}{S-55}=\\ &=\frac{250S-2\cdot 55 \cdot 85-80S}{S-55}=\frac{170(S-55)}{S-55}=170 \end{align*} Esta es la solución prevista para el problema. De hecho, no hay otros casos posibles: en el segundo encuentro, Alice o Bob deben haber completado al menos un viaje, pero ninguno de ellos puede haber completado más de uno, ya que de lo contrario habría habido otro encuentro entre ambos.