Quiero evaluar $$L=\lim_{x\to\infty}\frac1x\int_0^x\max\{\sin t,\sin(t\sqrt2)\}dt$$ Mi intento $$L=\lim_{x\to\infty}\frac1{2x}\int_0^x\Big(\sen t+\sin(t\sqrt2)+\big|\sen t-\sin(t\sqrt2)\big|\Big)dt\\ =\lim_{x\to\infty}\frac1{2x}\int_0^x\big|\sen t-\sin(t\sqrt2)\big|dt\\ =\lim_{x\to\infty}\frac1x\int_0^x\bigg|\cos\frac{\sqrt2+1}2t\cdot\sin\frac{\sqrt2-1}2t\bigg|dt$$ Denotar $s_n$ $n$th punto cero de la $\cos\frac{\sqrt2+1}2t\cdot\sin\frac{\sqrt2-1}2t\ (t\ge0)$. Desde $1$, $\sqrt2$ y $\pi$ son lineales independientes en $\mathbb Q$, el orden de los puntos cero debería ser $1$. De acuerdo con el teorema del sándwich, tenemos $$L=\lim_{n\to\infty}\frac1{s_{n+1}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\int_{s_k}^{s_{k+1}}\big(\sen t-\sin(t\sqrt2)\big)dt\\ =\lim_{n\to\infty}\frac1{s_{n+1}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\bigg(\cos s_k-\cos s_{k+1}+\frac{\cos\sqrt2s_k-\cos\sqrt2s_{k+1}}{\sqrt2}\bigg)dt$$ Yo no puede ir más allá. Creo que el punto cero de la función es el punto clave.
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Como señala OP, podemos utilizar el $\max{a,b} = \frac{a+b}{2} + \frac{|a-b|}{2}$ a descubrir que
$$ L = \lim{x\to\infty} \frac{1}{x} \int{0}^{x} \left|\cos\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2}t\right)\sin\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}t\right)\right| \, dt. $$
Aplicar la sustitución $\frac{\sqrt{2}+1}{2}t = \pi u$ y $\alpha=(\sqrt{2}-1)^2$ de la escritura seguido de sustitución $y = \frac{\sqrt{2}+1}{2\pi}x$, vemos
\begin{align} L &= \lim{y\to\infty} \frac{1}{y} \int{0}^{y} \left| \cos(\pi u)\sin(\pi \alpha u) \right| \, du \ &= \lim{N\to\infty} \frac{1}{N} \int{0}^{N} \left| \cos(\pi u)\sin(\pi \alpha u) \right| \, du \ &= \lim{N\to\infty} \int{0}^{1} \left| \cos(\pi u) \right| \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \left| \sin(\pi \alpha k + \pi \alpha u) \right| \right) \, du \end{align}
$\alpha$ Es irracional, el teorema de equidistribución aplicado a $v \mapsto \left| \sin(\pi v + \pi \alpha u) \right|$ para cada fijo $u$ dice que
$$ \forall u\in\mathbb{R} \ : \ \lim{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum{n=0}^{N-1} \left| \sin(\pi \alpha k + \pi \alpha u) \right| = \int_{0}^{1} \left| \sin(\pi v) \right| \, dv. $$
Por lo tanto por el teorema de convergencia dominada,
$$ L = \left( \int{0}^{1} \left| \cos(\pi u) \right| \, du \right)\left( \int{0}^{1} \left| \sin(\pi v) \right| \, dv \right) = \frac{4}{\pi^2}. $$
Creo firmemente que la conjetura de que el límite es de ${4\over\pi^2}=0.405285$. Integración numérica en el intervalo de $[0,1000]$ Mathematica obtenido $0.406966$, pero advirtió de que el error puede ser mayor que la de Mathematica estándar.
Considerar el torus $T:=\bigl({\mathbb R}/(2\pi{\mathbb Z})\bigr)^2$y en $T$ la función $$f(x,y):=\max\{\sin x,\sin y\}\ .$$ Dibuja una figura de la fundamental de dominio $[-\pi,\pi]^2$ con el fin de identificar las partes de $T$ donde $\sin x$, resp. $\sin y$, es mayor. A continuación, calcular el requerido integrales dobles y obtener $$\int_T f(x,y)\>{\rm d}(x,y)=16\ .$$ Esto significa que el "espacio " promedio" $E$ $f$ está dado por $$E(f)={16\over {\rm area}(T)}={4\over\pi^2}\ .$$ Ahora la órbita $$t\mapsto \bigl(x(t),y(t)\bigr):=(t,\>\sqrt{2}\,t)$$ proyectos para una línea con irracional de la pendiente en $T$. En una situación de un "ergodic principio" es en el trabajo. De acuerdo a este principio, el "tiempo medio" de $f$ coincide con el "espacio medio" $E(f)$. Base teórica para que esto suceda es que el hecho de que los múltiplos $k/\sqrt{2}$ $(k\in{\mathbb N})$ están distribuidas uniformemente mod $1$.
Para simplificar voy a anotar $\alpha = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$$\beta = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$. Ahora tenga en cuenta que la integral, básicamente, sólo depende del comportamiento asintótico de el integrando, lo que significa que para todos los $y$:
$$ \begin{align} L =\lim_{x\to\infty} \frac1x \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \cdot \sin \beta t\bigg| \,\mathrm{d}t &= \lim_{x\to\infty} \frac1x \int_y^x \bigg| \cos \alpha t \cdot \sin \beta t\bigg| \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{x\to\infty} \frac1{x+y} \int_0^{x} \bigg| \cos \alpha (t+y) \cdot \sin \beta (t+y)\bigg| \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x \bigg| \cos \alpha (t+y) \cdot \sin \beta (t+y)\bigg| \,\mathrm{d}t \end{align} $$
Dejando $y = \frac{2\pi n}{\alpha}$ $n \in \mathbb{N}$ esto implica:
$$ L = \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \bigg| \cdot\bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg| \,\mathrm{d}t $$
ahora desde $\alpha$ $\beta$ son irracionales obtenemos (utilizando el ergodic teorema):
$$ \lim_{N\to\infty} \frac1N \sum_{n=0}^N \bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg| = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \bigg| \pecado(s) \bigg| \,\mathrm{d} = \frac{2}{\pi} $$
para casi todos los $t$. Con esto ya podemos resolver el original de la integral de la siguiente manera:
$$ \begin{align} L =\lim_{x\to\infty} \frac1x \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \cdot \sin \beta t\bigg| \,\mathrm{d}t &= \lim_{N\to\infty} \frac1N \sum_{n=0}^N \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \bigg| \cdot\bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg| \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{N\to\infty} \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \frac1N \sum_{n=0}^N\int_0^x \bigg| \cos \alpha t \bigg| \cdot\bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg| \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{N\to\infty} \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \bigg| \cdot \frac1N \sum_{n=0}^N \bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg| \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x \bigg| \cos \alpha t \bigg| \cdot \frac2{\pi} \,\mathrm{d}t\\ &= \frac{4}{\pi^2} \end{align} $$
este último paso requiere mucha justificación, sin embargo. Esto se puede hacer notar que ergodic teorema garantiza que $\frac1N \sum_{n=0}^N \bigg| \sin \beta \Bigl(t+\frac{2\pi n}{\alpha}\Bigr)\bigg|$ converge en el $L^2$ sentido en $[0, 2\pi / \beta]$ a la función constante $\frac{2}{\pi}$. Esto es suficiente ya que, si hemos $g$ delimitada y $f_n$ periódica con período de $2\pi / \beta$ $f_n \to f$ $L^2$ sentido durante ese período, a continuación:
$$ \begin{align} \lim_{N\to\infty} \left| \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x g \cdot f_n \,\mathrm{d}t - \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x g \cdot f \,\mathrm{d}t \right| &\le \lim_{N\to\infty} \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x | g \cdot f_n - g \cdot f |^2 \,\mathrm{d}t\\ &\le \lim_{N\to\infty} \lim_{x\to\infty} \frac1{x} \int_0^x C | f_n - f |^2 \,\mathrm{d}t\\ &\le \lim_{N\to\infty} \lim_{x\to\infty} \frac{C}{x} \left\lceil\frac{x}{2\pi / \beta}\right\rceil \| f_n - f \|_2^2\\ &\le \lim_{N\to\infty} \frac{C}{2\pi / \beta} \| f_n - f \|_2^2 \to 0 \end{align} $$
Es posible que haya una menos engorroso prueba para demostrar la convergencia, pero la combinación de asintótica de la densidad y ergodic theory no hacer las cosas un poco complicado.
