Comprobando$H^n(X,K_X)=\mathbb{C}$ para un colector complejo compacto

Question

$X$ es una variedad compleja compacta de dimensión$n$ (No necesariamente Kahler). ¿Cómo voy a probar la afirmación anterior? Sé que$H^n(X,K_X)$ es isomorfo a$H^{n,n}(X)$ según el teorema de Dolbeault.

La integración proporciona un mapa bien definido sobre$\mathbb{C}$, pero no estoy seguro de cómo demostrar que es uno-uno.

Answer 1

El isomorfismo $H^n(X,K_X)\simeq\mathbb{C}$ sigue a partir de la dualidad de Serre, que es válida para todas las compactas complejo colector, Kähler o no.
Una versión de Serre fundamentales resultado es que, dada la conexión de un complejo compacto colector $X$ de la dimensión de $n$, un vector paquete de $V$ $X$ y un entero $p$, de lo finito-dimensional espacios vectoriales $$H^p(X,V) \operatorname {and} H^{n-p}(X,K_X\otimes V^*)$$ ( which are finite-dimensional by Cartan-Serre!) are canonically dual for any integer $p$.
Su isomorfismo es obtenida por la toma de $p=n$ $V=K_X.$

Bibliografía
Serre, de la Onu théorème de dualité