Mostrar que $n \ge \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

Question

(¿cómo me puedo demostrar que:

$n \ge \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ ?

Debe ser cierto para todos los $n \ge 5$.

Lo intentó a través de la inducción:

1. $n=5$: $5 \ge \sqrt{5} + \sqrt{6}$ es cierto.

2. $n\implies n+1$: Necesito mostrar que $n+1 \ge \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}$

Comenzando con $n+1 \ge \sqrt{n} + \sqrt{n+1} + 1$ .. (ahora???)

Es este el camino correcto?

Answer 1

Sugerencia: $\sqrt{n} + \sqrt{n+1} \leq 2\sqrt{n+1}$. Se puede tomar desde allí?

Answer 2

Aquí hay otra manera:

Definir $f(x)=x-\sqrt{x}-\sqrt{x+1}$. Tenemos que mostrar que $f(x)\ge 0$ todos los $x\ge 5$. Desde $$f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \ge 0, \quad \forall x\ge 1$$ la función es creciente en $[1,\infty)$. Como $f(5)\ge 0$, el resultado de la siguiente manera.

Answer 3

Lo que me gustaría probar primero si yo quería ser cierto - no hay trucos:

$n \ge \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \iff \frac{n}{\sqrt{n}} \ge \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \iff \sqrt{n} \ge \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \Leftarrow n \ge 5$.

Answer 4

Para agregar a su paso, observe las siguientes:

$$\sqrt{n}+1 = \sqrt{(\sqrt{n}+1)^2} = \sqrt{n+1+2\sqrt{n}} > \sqrt{n+1+1} = \sqrt{n+2}.$$

El "$>$" parte proviene de la suposición $n \ge 5$, lo $2\sqrt{n} \ge 2\sqrt{5} > 1$. Ahora, tenemos:

$$n+1 \ge \sqrt{n} + \sqrt{n+1} + 1 = \sqrt{n+1} + (\sqrt{n}+1) > \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}.$$

Answer 5

Primero observar que desde $5 \le n$, tenemos: $$4(n+1) =4n+4 < 4n+5 \le 4n+n = 5n \le (n)n = n^2$$ Por lo tanto, desde el $4(n+1)<n^2 \Rightarrow \boxed{n+1<\dfrac{1}{4}n^2}$ (e $f(x)=\sqrt{x}$ es monótonamente creciente y $n\ge0$), tenemos:

$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \le \sqrt{n+1}+\sqrt{n+1} = 2\sqrt{n+1}<2\sqrt{\dfrac{1}{4}n^2}=2\left(\dfrac{1}{2}n\right) = n$$

como se desee.