Axiomas no estándar + ZF y el resto de las matemáticas

Question

Nunca he tomado un curso formal de la Teoría de conjuntos, pero me he estado preguntando acerca de esto por algún tiempo ahora.

No son estándar axiomas, como $\mathbb{V}=\mathbb{L}$ y los axiomas sobre los grandes cardenales y cualquier otro que se le ocurra (que son independientes de $ZFC$) que se utilizan fuera de la pura Teoría de conjuntos?

Hay algunos que no trivial problemas en otras ramas de las matemáticas (como el álgebra, la topología, análisis, etc.) que sólo puede ser resuelto si estos axiomas se utilizan? Pueden permitir patológico comportamiento en esos campos?

Si no, ¿por qué no podemos elegir los axiomas para hacer conjuntos de comportarse de la mejor manera posible como $\mathbb{V}=\mathbb{L}$, y los utilizan para simplificar las cosas, en el Conjunto de la Teoría misma? ¿Por qué es $ZFC$ tan universalmente utilizado?

También, existen todavía algunas ramas de las matemáticas, que rechazan axioma de elección?

Answer 1

Conjunto de axiomas teóricos se utilizan en otras áreas, que quizás estén estrechamente relacionados con la teoría de conjuntos, pero no, en mi opinión, "pura teoría".

Un área está en "conjunto teórico de la topología", que es un campo de punto-establecer la topología que considera las propiedades que son más sensibles para establecer la teoría de los axiomas. Un ejemplo es Fleißner de 1974 del papel "Normal Moore Espacios en la Edificable Universo" (Proc. AMS 46:2), que avanzó hacia la normal Moore espacio conjetura, bajo el supuesto de $V=L$. Del mismo modo, el axioma de Martin tiene aplicaciones en la topología general. Para un ejemplo reciente, vea este resumen del 2018 Conjunta de Matemáticas de Reuniones. En general, estos usos de $V=L$ o el axioma de Martin son vagamente similar al uso de la probada hipótesis de Riemann para la obtención de resultados en la teoría de números.

Otra rama de las matemáticas que, a veces, utiliza los axiomas fuera de ZFC se establece en la teoría combinatoria, aunque esto es probablemente más cercano a la "pura teoría".

Pero, ¿por qué es ZFC tan utilizada? Una de las razones es, sin duda sociológica: ZFC es muy utilizado porque es lo que la mayoría de los matemáticos están de acuerdo. Pero hay dos advertencias importantes para que. La primera es que la mayoría de las matemáticas requiere de mucho menos de ZFC, por lo que decir "esto es demostrable en ZFC" es normalmente una gran sobreestimación de lo que se necesita. En este sentido, ZFC se utiliza porque es una estimación segura.

La segunda advertencia es que la mayoría de los matemáticos no se preocupe acerca de las fundaciones demasiado, y probablemente no se puede nombrar a los axiomas de ZFC, así que para ellos el uso de ZFC para formalizar su trabajo es totalmente hipotético. Lo mismo vale para cualquier fundamentales del sistema - del mismo modo algunos matemáticos podría dar un conjunto razonable de definiciones formales fundamentales del sistema, sea de ZFC o un topos sistema teórico.

Como para el axioma de elección, esencialmente el único lugar en el que no es aceptado en algunos (pero no todos) de las ramas de los constructivo (intuitionistic, no clásica) de las matemáticas. Básicamente, cada contemporáneo introducción de libros de texto de álgebra o análisis de los usos de CA cuando sea necesario para obtener la norma, los resultados clásicos.

Por último, ¿por qué no asumimos $V=L$ todo el tiempo, para simplificar las cosas? La mejor respuesta es que, en un sentido, los axiomas de ZFC están de acuerdo para que coincida con la concepción habitual de "set" (es decir, "puro bien fundada"), mientras que no hay generalmente aceptados argumento de que $V=L$ está implícita en la noción de "conjunto". Siempre es posible que otros axiomas podrían ser aceptados en el futuro, si es lo suficientemente matemáticos creían que eran naturales. Pero de alguna manera, en la práctica, los axiomas de ZFC parecen ser el límite de lo que el término "conjunto" significa para la mayoría de los matemáticos que han llegado a estas cosas. Mucho más se ha escrito acerca de esto en una serie de artículos "¿matemáticas necesitan nuevos axiomas", en diciembre de 2000 Boletín de la Lógica Simbólica. Aparte de los artículos fueron escritos por Solomon Feferman, Harvey M. Friedman, Penélope Maddy y John R. Acero, dando diferentes opiniones acerca de este problema exacto.

Answer 2

Usted debe obtener una mejor respuesta a partir de un conjunto teórico.

La Hipótesis continua se utiliza a veces en el análisis, de una manera divertida. Lo que ocurre es que tenemos una conjetura C y CH nos permite construir un contraejemplo. Años atrás me preguntaba por qué a nadie le importa, ya que esto no prueba que C es falsa, ya que no sabemos que CH tiene.

Pero estaba equivocado; "nosotros", "debería" preocuparse por que contraejemplo el uso de CH. Aunque no se puede probar que C es falsa, no demostrar que no podemos probar que C es verdadero (en ZFC, por supuesto), ya que sabemos que ZFC no es prueba de que CH es falso.

(Hay un ejemplo tradicional en la teoría de la medida que utiliza la CH y la muestra, independientemente de si uno cree en la CAD, que una de las hipótesis del Teorema de Fubini no se puede omitir...)

Answer 3

Me permite agregar una marginalia a Carl Mummert excelente respuesta.

1. Hay lugares donde este tipo de axiomas son útiles. Categoría de la teoría hace que se utiliza inaccesibles de los cardenales; la pregunta "¿es coherente que, sin elección de todos los conjuntos de reales son Lebesgue medible?" tiene una respuesta que depende de la elección de los grandes cardenales; la cuestión es "cada proyectiva conjunto de Lebesgue medible?" tiene una respuesta arraigada en gran cardenal supuestos.

   Por otro lado, obligando nos dio un montón de herramientas para la construcción de un montón de extraños y muy interesante, contraejemplos, en el álgebra y el análisis funcional y topología, para decir lo menos. Asumiendo $V=L$ esencialmente dice que este no es el caso. Sin embargo, se da lugar a otras extraño contraejemplos, como muchos otros "canónica" interior de los modelos de la teoría de conjuntos (no sólo de $L$ falla aquí).

2. Una de las razones por las que $V=L$ o gran cardenal axiomas no hacer bajar a "diario de las matemáticas" muy a menudo es la misma razón por la que Quine de la Nueva Fundación no tuvo éxito como fundacional de la teoría. Hay demasiado en la lógica y en la teoría de conjuntos involucrados. Con el fin de entender $V=L$, como un axioma, usted necesita entender el modelo básico de la teoría, es necesario comprender la recursión transfinita, usted necesita tener un montón de la teoría de conjuntos bajo su cinturón.

   Si no entiendes $V=L$, ¿qué es para ti? Las consecuencias son a menudo una combinación de $\sf GCH$, y diversas combinatorias de principios como el de la $\lozenge$ o $\square$ principios. Pero esos son consistentes también con $V\neq L$. Así, suponiendo que este axioma en realidad no te dan ningún beneficio en este caso.

   Lo mismo puede decirse de la mayoría de los "suficientemente grandes" gran cardenal axiomas. Usted necesita entender primaria incrustaciones y ultrapowers si usted quiere entender medibles cardenales; usted necesita un infierno de un montón de la teoría de conjuntos a entender muy grandes axiomas, por ejemplo,$I0$; y usted necesita tener algo de teoría de conjuntos bajo su cinturón para comprender plenamente lo que es un Mahlo cardenal.

   Dado que la mayoría de la gente no quiere trabajar con la teoría de conjuntos directamente, la mayoría de la gente no quiere asumir estos axiomas. Y ellos no.

Answer 4

Los universos de Grothendieck , desarrollados por Grothendieck para su uso en geometría algebraica, y que tienen aplicaciones en la teoría de categorías , son equivalentes a cardenales fuertemente inaccesibles .