Integral con límite

Question

Necesito demostrar que %#% $ #% la respuesta va como sigue:

$$ \lim_{k\rightarrow\infty} \int_a^b | \cos{kx}|dx = \frac{2(b-a)}{\pi} $$

Pero estoy algo confundido en la segunda etapa. Entiendo que el primer paso es un cambio de variable y supongo que el segundo es el mismo, pero no veo por qué permanece inalterado el $$ \lim_{k\rightarrow\infty} \inta^b | \cos{kx}|dx = \lim{k\rightarrow\infty} \frac{1}{k} \int{ka}^{kb} | \cos{x}|dx = \lim{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k} \frac{k(b-a)}{\pi} \int_{0}^{\pi} | \cos{x}|dx = \frac{2(b-a)}{\pi}$ en el integrando. En cuanto a lo que veo, debe ser multiplicado por $x$, como se multiplica por el $\frac{k(b-a)}{\pi}$ en el primer paso.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Hay algunos handwaving en la segunda igualdad. La función $|\cos|$ tiene período $\pi$. Gran $k$ el intervalo de $[ka,kb]$ contiene sobre períodos separados de $k(b-a)/\pi$ $[c,c+\pi]$ dejando una cantidad acotada sobra. Por lo que la integral es $k(b-a)/\pi$ veces la integral sobre un período más $O(1)$.