¿Podemos tener un mapa de $(0,1)$ a $(0,1)$ tal que la imagen de cada intervalo abierto en $(0,1)$ es todo $(0,1)$ ?
Esto me recuerda mucho a Función base 13 de Conway .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Shabaz
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Sí. Mi favorito, aunque hay que limpiar un poco las esquinas es este. Deja $x\in (0,1)$ y expresarlo en base $3$ . Si hay un número infinito de $2$ en la expansión, establezca $f(x)=x$ e ignóralo. De lo contrario, corta todos los dígitos iniciales hasta el último $2$ y leer el número resultante en binario para obtener $f(x)$ . Dado cualquier $y \in (0,1)$ expresado en binario y un intervalo $(a,b)$ podemos encontrar $c \in (a,b)$ expresado en terminación ternaria en $2$ que podemos añadir $y$ y permanecer en $(a,b)$
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Esto es más o menos lo mismo que math.stackexchange.com/questions/186427/
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Intenta algo con $\sin\frac1x$ o tal vez sus traducciones.
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Si desea utilizar explícitamente el ejemplo de Chris Eagle $f:\mathbb R\to\mathbb R$ siempre se puede decir $g(x) = 1+\frac1{\pi}\arctan(\pi f(\tan(\pi(x-\frac12))))$
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@Omnomnomnom: Usando $g(x)=f(x)$ donde tenga sentido y $g(x)=0.5$ donde no lo hace sería significativamente menos loco.
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@ChrisEagle efectivamente eso tiene sentido y parece mucho menos descabellado.
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Una modificación adecuada de Ejemplo 2.25 en la obra de Gelbaum y Olmsted Contraejemplos en análisis funcionará.