Mostrar que $(x + y\sqrt{-5})$ debe ser un prime en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

Question

Tengo estos problemas como secciones separadas de una pregunta en un libro del capítulo sobre "la Divisibilidad y números primos'.

1. Mostrar que si $x^2 + 5y^2 =1$,$x = \pm 1$.

Podemos afirmar, en términos de dos factores como : $(x + y\sqrt{-5})(x-y\sqrt{-5}) =x^2 + 5y^2$, con
(i) $(x + y\sqrt{-5}) = 1$,
(ii) $(x - y\sqrt{-5}) = 1$
La adición de ambos (i) y (ii), obtenemos: $x = 1$, Restando (ii) de (i), obtenemos: $(y\sqrt{-5}) = 0$.
Incapaz de perseguir después de que, como $x=-1$ no es posible.

2. Mostrar que $(x + y\sqrt{-5})$ debe ser una de las primeras en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

La sugerencia es utilizar el único teorema de la factorización de los números enteros, por suponer $(x + y\sqrt{-5}) = (a + b\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5})$. La sugerencia se pide demostrar que: $(x^2 + 5y^2) = (a^2 + 5b^2)(c^2 + 5d^2)$.

Necesito un poco más de sugerencia o ayuda a seguir, como el cuadrado de $(x + y\sqrt{-5}) = (a + b\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5})$ no conduce a $(x^2 + 5y^2) = (a^2 + 5b^2)(c^2 + 5d^2)$.

Mi intento es indicado para cuadrar ambos lados a continuación:
L. H. S.: $(x + y\sqrt{-5})(x + y\sqrt{-5}) => x^2 + 2xy(-5) -5y^2$
R. H. S.: $(a + b\sqrt{-5})^2(c + d\sqrt{-5})^2 => (a + b\sqrt{-5})(a + b\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5})(c + d\sqrt{-5}) => (a^2 -5b^2 +2ab\sqrt{-5})(c^2 -5d^2 +2cd\sqrt{-5})$

3. Encontrar todos los números primos de menos de 50 en números enteros que puede ser escrita en la forma $x^2 + 5y^2$.

Ninguna pista excepto en primer lugar, encontrar los números primos: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$.

A continuación, tratando de ver si el de la factorización de las obras, de modo de comenzar con $2 = x^2 + 5y^2$, pero no puede pensar más allá. Necesito tener a $y$ como un número imaginario sólo, como $\sqrt{-5}$, o todo va a funcionar.

Answer 1

1. Estás overthinking este. Tenemos dos números enteros, $x$$y$,$x^2 + 5y^2=1$. Si $y$ es de otra cosa que de $0$, $5y^2$ es mayor que $1$, y desde $x^2$ es no negativo, la ecuación es imposible. Habiendo decidido,$y=0$, nos quedamos con $x^2=1$, que tiene dos soluciones: $x=\pm 1$

2. Esta pregunta parece que falta algo. No es cierto que cada número de la forma $x+y\sqrt{-5}$ es el primer en $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$. Por ejemplo, podemos tomar $x=1, y=5$, y tenga en cuenta que $1+5\sqrt{-5}$ factores $(3+\sqrt{-5})(2+\sqrt{-5})$.

3. Una manera más fácil de hacer esto es elegir los valores de $y$, y, a continuación, para cada uno, los valores de $x$ hasta pasar por $50$.

Answer 2

Tanto en $x$ $y$ provienen de $\mathbb Z$, ¿verdad?

1. Si $x = \pm 1$,$x^2 = 1$. A continuación,$5y^2 = 0$, por lo que obviamente $y = 0$. Bueno, algo me llevó a que hacia atrás. Ir hacia adelante: si $y \in \mathbb R$,$y^2 \geq 0$. Por lo tanto, si $y \neq 0$,$5y^2 > 4 > 1$.
2. A menos que exista alguna restricción en $x$ y/o $y$, esta afirmación es falsa. Simplemente elija $x$ $y$ tal que $\gcd(x, y) > 1$. A continuación,$\gcd(x, y) \mid (x + y \sqrt{-5})$. Por supuesto, como Tony mostró, $\gcd(x, y) = 1$ no es ninguna garantía.
3. Tratar de fijación $y = 0$, entonces... um, que no funciona, las plazas no pueden también ser primer. Bien, tratar de fijación $y = 1$, $x^2 + 5y^2$ da la secuencia 5, 6, 9, 14, 21, 30, 41, a partir de la cual se apartan los 5 y 41. A continuación, fije $y = 2$, dando 20, 21, 24, 29, 36, 45, que da sólo 29 años. No hay necesidad de molestarse con $y = 3$ para el rango de tiempo especificado. Por lo tanto, tenemos 5, 29, 41. Sólo tres de los números primos, pero eso es suficiente para encontrar http://oeis.org/A033205 en la OEIS.

Answer 3

3, los cuadrados modulo $5$ son $-1,0,1$, por lo que los números primos son: $5,11,19,29,31,41$. Pregunta 2 no tiene sentido. Es necesario proporcionar contexto.