¿Si f es continua, esto significa que la imagen bajo f de cualquier conjunto abierto es también abierto?

Question

Si $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ son espacios métricos, y $f : X \to Y$ es una aplicación continua, ¿es cierto que para cualquier conjunto abierto $U \subset X$, el conjunto $f(U)$ es abierto en Y?

Answer 1

Esto no es cierto en general.

Sea $f: \Bbb R \to \Bbb R$ definida como la función constante $f(x) = 2$. Entonces $f$ es continua, pero cada conjunto abierto se mapea a $\{2\}$, que no es abierto.

Answer 2

No. El contraejemplo más fácil es $f(x) = c$. Entonces para todo $U$, $f(U) = \{c\}$ no es abierto.

En general, si $f$ es una función real, no inyectiva, entonces se pueden encontrar intervalos abiertos alrededor de un máximo o mínimo local, cuya imagen será un intervalo al menos semiabierto. Ejemplo: $f(x) = x^2$ tiene un mínimo en $x = 0$ así que para $a < 0 < b$, $f((a,b)) = [0, \max(a^2, b^2))$ no es abierto.

Hay muchos más contraejemplos.

Answer 3

No, pero si estás buscando un artículo interesante en esta dirección, consulta:

Velleman, D. J. (1997). Caracterizando la continuidad. American Mathematical Monthly, 318-322.

Puedes encontrar un enlace al artículo en JSTOR aquí.

Una vista previa del comienzo:

Answer 4

Otro contraejemplo es para $U=(0,4 \pi)$ tenemos $\sin U = [-1,1]$

Answer 5

Cada función $f:(X,\tau_1)\to (X,\tau_2)$ donde $\tau_1$ es una Topología Discreta, es continua pero no hay garantía de que $f$ sea abierta