Encontrar límite de$x_n=\frac{n^{\frac{n}{2}}}{n!}$

Question

Encuentre el límite de$$x_n=\frac{n^{\frac{n}{2}}}{n!}$ $ Lo sé, va a$0$ por WolframAlpha, pero no está claro para mí por qué. También sé que$$x_n=\frac{n^n}{n!}=+\infty$ $

Answer 1

SUGERENCIA:

Desde $n!>(n/e)^n$ (esto se muestra dos maneras en las notas aquí), tenemos

$$\frac{n^{n/2}}{n!}\le \frac{n^{n/2}}{(n/e)^n}$$

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NOTAS:

Una forma elemental de mostrar $n!>(n/e)^n$ consiste en utilizar inducción. Entonces, tenemos

$$\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=\underbrace{\left(\frac{n}{e}\right)^n}_{<n assumption="">Otro enfoque es escribir

$$n!=n^n e^{n\,\frac1n\sum_{k=1}^n\log(k/n)}$$

Reconociendo el % de la suma de Riemann $\frac1n\sum_{k=1}^n\log(k/n)>\int_0^1 \log(x)\,dx=-1$, tenemos

$$n!>(n/e)^n$$

¡como era de mostrarse!

</n>

Answer 2

Sabes que $n! \geq n^n/e^n$ $(*)$ por lo tanto: $ $\frac{n^{n/2}}{n!}

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$(*)$ Esto puede ser derivado por notar que \ln(n!) \geq \int_1^n \ln $$ (x) \ dx = \ln(n) n \implies - n +1 n! \geq \frac{n^n}{e^n}\cdot e \geq \frac{n^n}{e^n} $$

Answer 3

Por la prueba del cociente, puesto que sabemos que

$$\lim{n\to\infty}\frac{x{n+1}}{xn}=\lim{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1n\right)^{n/2}}{\sqrt{n+1}}\le\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{\sqrt{n+1}}=\frac e\infty=0$$

Luego sigue por el término de prueba que

$$\lim_{n\to\infty}x_n=0$$