Si cada polinomio de grado$2$ y grado impar tiene una raíz en$k[x]$, entonces$k$ está cerrado algebraicamente.

Question

Deje $k$ ser un campo de característica cero. Asumir que cada polinomio en $k[X]$ de grado impar y cada polinomio en $k[X]$ de grado dos tiene una raíz en $k$. Mostrar que $k$ es algebraicamente cerrado.

Lo que tenemos que demostrar es que estas dos hipótesis implica que dado $f\in k[X]$ con deg $f = 2^nm,$ $m$ un entero impar, $f$ tiene una raíz en $k[X]$. Probablemente desee para el uso de la inducción en $n$. El caso de $n=0$ es buena, por supuesto. Ahora suponga $n>0$, $f$ es irreductible. Y no sé qué hacer después de este punto.

Answer 1

He aquí la prueba, debido a Artin. Deje $f \in k[X]$ ser un polinomio, y deje $K/k$ ser su división de campo. Esto es suficiente para mostrar que $K = k$. Dado que la característica de $k$ es $0$, $K$ es normal y separables, por lo tanto Galois, así que vamos a $G = \mathrm{Gal}(K/k)$. Deje $H$ ser un Sylow $2$-subgrupo de $G$, y deje $K^{H}$ ser el campo fijo de $H$. A continuación, $[K^{H}:k] = [G:H] = m$ algunos $m$ impar. Desde $k$ no tiene no trivial extensiones de grado impar, $m = 1$, lo $G = H$ y, por tanto, es un $2$-grupo. Si $G$ es no trivial, entonces $G$ contiene un subgrupo normal de índice $2$, es decir, $K$ contiene un subcampo que es una ecuación cuadrática de la extensión de $k$. Esto es imposible por hipótesis, por lo $K = k$.