Acerca de la convergencia de$f_n:=\sin{\sqrt{t+4n^2\pi^2}}$

Question

Deje $f_n \in C([0,+\infty))$ ser definido por $f_n(t):=\sin{\sqrt{t+4n^2\pi^2}}$ $n \in \mathbb N$ $t \ge 0$ .

1. Demostrar que $f_n$ converge pointwise a $f \in C([0,+\infty))$ y determinar $f$;

2. estudiar la convergencia uniforme de la secuencia de intervalos acotados y en $[0;+\infty)$.

Bueno, yo tengo algunos problemas y necesito su ayuda.

Primero de todo, he notado que $f_n(0)=0$ por cada $n \in \mathbb N$. Mi conjetura es que el pointwise límite es $f \equiv 0$. Pero, ¿cómo puedo demostrar rigurosamente? Creo que uno debe tener en cuenta que el $4n^2\pi^2=(2n\pi)^2$ así que debe ser algo relacionado con la periodicidad de la función $\sin(\cdot)$...

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia $$\sin \left( {\sqrt {t + 4{n^2}{\pi ^2}} } \right) = \sin \left( {2n\pi \sqrt {\frac{{t + 4{n^2}{\pi ^2}}}{{4{n^2}\pi }}} } \right) = \sin \left( {2n\pi \sqrt {\frac{t}{{4{n^2}\pi }} + 1} } \right)

y

$$\sqrt {1 + x} = 1 + \frac{x}{2} + o\left( x \right)$$ for $x \ a 0$

Por supuesto,$\sin x =x+o(x)$ para$x\to 0$

Answer 2

$\sin(\sqrt{t+4n^2\pi^2})=\sin\left(2n\pi\sqrt{1+\frac{t}{4n^2\pi^2}}\right)\approx \sin\left(2n\pi+\frac{t}{4n\pi}\right)=\sin\left(\frac{t}{4n\pi}\right)\approx\frac{t}{4n\pi}\rightarrow 0$

asi que $f(t)=0$.

En cualquier intervalo, la convergencia está limitada como$|\sin(x)|\le|x|$.