Supongamos que tengo una función $y=x+1$ entonces esta función es la misma que $y=\frac{ x^2+x}{x }$ ?

Question

Supongamos que tengo una función

$y=x+1$

Entonces, ¿es esta función la misma que

$y=\frac{ x^2+x}{x }$ ?

El dominio de x en la primera función es $R$ y en la segunda función es $x\neq 0$ .

Answer 1

En sentido estricto: son no lo mismo

Por definición, una función es un triple $(f,X,Y)$ tal que $X,Y$ son conjuntos y $f$ es un subconjunto de $X\times Y$ con la propiedad de que para cada $x$ etc.

Dos funciones $(f,X,Y)$ y $(g,Z,W)$ son -de nuevo por definición- iguales si $f=g$ , $X=Z$ y $Y=W$

Si tiene las funciones $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \quad f(x)=1$$ y $$g:\mathbb R\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R \quad g(x)={x\over x}=1$$ entonces $f$ y $g$ no son la misma función. Todo lo que se puede decir es que $$f(x)=g(x) \quad\text{for all } x \in \mathbb R\setminus \{0\}$$ Sólo hay que tener en cuenta que la igualdad de funciones es un poco más que $f(x)=g(x)$ .

Answer 2

Sólo para decir lo que Blah dijo un poco diferente.

Se puede pensar en una función como una regla que toma un elemento de un conjunto $A$ a un elemento de un conjunto $B$ . A veces escribimos: $f: A \to B$ . La clave aquí es que una función se da siempre con un dominio ( $A$ ). Tienen que ser iguales para que podamos decir que dos funciones son iguales.

Así, por ejemplo. La función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dado por $f(x) = x$ no es el mismo como la función $g(x): [0,\infty) \to \mathbb{R}$ dado por $g(x) = x$ . Así que aunque tengan la misma expresión sus dominios difieren y por tanto no son la misma función.

Como nota al margen, a menudo suprimimos el dominio y simplemente asumimos que el dominio es el conjunto de todos los elementos en los que la expresión tiene sentido. Así que en tu caso el dominio de la primera función $y = x + 1$ son todos los números reales, mientras que el dominio de la segunda función $\frac{x^2 + x}{x}$ son todos los números reales excepto el cero.