Actualmente estoy aprendiendo acerca de la exacta secuencias en grad sch curso de Álgebra I, pero yo realmente no se puede obtener la imagen intuitiva del concepto y por qué es importante en absoluto.
¿Alguien puede explicar por mí? Gracias de antemano.
En el álgebra lineal de espacio Euclidiano (es decir, $\mathbb R^n$), la consideración de los subespacios y sus complementos ortogonales son fundamentales: si $V$ es un subespacio de $\mathbb R^n$, a continuación, pensamos en él como el llenado de "algunas" de las dimensiones en $\mathbb R^n$, y entonces su complemento ortogonal $V^{\asesino}$ rellena las otras direcciones. Juntos abarcan $\mathbb R^n$ en un minimial manera (es decir, sin redundancias, es decir, $\mathbb R^n$ es la suma directa de $V$ y $V^{\asesino}$).
De ahora en más configuraciones generales (dicen los módulos a través de un anillo) que no tiene un producto interior, y por tanto, no podemos de forma ortogonal complementa, pero todavía podemos hablar de submódulos y cocientes.
Así que si $A$ es un submódulo de $B$, entonces $A$ se llena "algunas de las direcciones" en $A$, y el resto de las direcciones están codificados en $B/$.
Ahora, de por sí, esto no parece nada nuevo, o que vale la pena conmemorar con la nueva terminología, pero a menudo lo que ocurre es que uno tiene un submódulo $A \subconjunto B$ y, a continuación, un surjection $B \a C$, dado sin ningún a priori en relación a cada uno de los otros.
Sin embargo, si $a$ es, precisamente, el núcleo de el mapa de $B \a C$, entonces estamos (algo secretely) en la situación anterior: $Un$ llena algunas de las direcciones en $B$, y todas las orientaciones complementarias están codificados en $C$.
Por lo que introducir la terminología "$\, \, 0 \a \B \C \to 0$ es una breve secuencia exacta" para la captura de esta situación.
Desde hace mucho tiempo (es decir, no necesariamente breve) exacto secuencias siempre puede ser roto hasta en un montón de corto exacta de las secuencias que están pegadas entre sí, conseguir una sensación para el corto exacta de secuencias es un buen primer paso.
Por supuesto, usted debe ser el acoplamiento de su estudio de estos conceptos con homológica ejemplos, por ejemplo, a corto exacta de secuencias derivadas de la tangente y de la normal de paquetes a submanifolds de colectores, todo el tiempo exacto en la homología de las secuencias de la teoría (de la topología algebraica), y así sucesivamente, sin que estos ejemplos de que ocurran naturalmente set-ups de la "$A, B, C$" la forma descrita anteriormente, no va a ser así es fácil conseguir una idea de por qué este concepto fue aislado como un derecho fundamental.
Hay muchas buenas respuestas aquí. Tan solo me gustaría agregar un ejemplo que hizo exacta de las secuencias de 'clic' para mí, relativa a la "Fórmula de Euler" en relación con el número de vértices ($V$), bordes ($E$), y caras ($F$) de un simple no-auto-intersección de poliedros: $$ |F| - |E| + |V| = 2$$ Ahora, ¿qué tiene que ver esto con exacta de las secuencias, que también puede hacer! Así que si usted considera que el libre abelian grupos generados por el conjunto de caras, aristas y vértices por separado, y crear determinados lineal mapas entre ellos (ver "mapas de los límites' de homología simplicial), entonces casi exacta de la secuencia: $$ \mathbb{Z}[F] \to \mathbb{Z}[E] \to \mathbb{Z}[V] $$ De hecho, esta es la secuencia exacta en el medio plazo. Si añadimos dos rango de $1 a$ grupos de la izquierda y la derecha (uno con un generador de todo el sólido $S$, y uno generado por el símbolo $e =$ '$\emptyset$'), luego te dan una secuencia exacta: $$ 0 \to \mathbb{Z}[S] \to \mathbb{Z}[F] \to \mathbb{Z}[E] \to \mathbb{Z}[V] \to \mathbb{Z}[e] \a 0 $$
Luego de Euler Fórmula es la declaración de que la alternancia de suma de rangos es de $0$ (porque no hay torsión para mantener la pista).
$$ -1 + |F| - |E| + |V| - 1 = 0, $$ o $$ |F| - |E| + |V| = 2. $$ Espero que esto ayude!
Versión corta: Una secuencia exacta da una lista de ingredientes mediante la inclusión-exclusión.
De alta tecnología de la versión: en algunos casos el grupo de Grothendieck tiene un cociente que es fácil de calcular.
Sirve de ayuda si usted está familiarizado con algunos de los conceptos básicos de la exacta secuencias de primera. Ninguno de los próximos 6 balas puntos es profundo. Es sólo una notación que permite un fácil mantenimiento de registros contables.
El último es vale la pena hablar un poco: un homomorphism compara $A$ y $B$. La manera en que difieren es capturado por $\ker(f)$ y $\operatorname{cok}(f)$.
Este secuencias dice que $a$ es exactamente igual a $B$, bueno, excepto por el núcleo $\ker(f)$, y la verdad que sólo te da $A/\ker(f) \cong \im(f)$, por lo que también estamos perdiendo $B/\im(f) = \cok(f)$. Ok, así que en realidad si se toma $A$ y deshacerse de $\ker(f)$, es lo mismo que $B$ y deshacerse de $\cok(f)$.
$$[A] - [\ker(f)] = [B] - [\cok(f)] \quad \text{o} \quad -[\ker(f)] + [A] - [B] + [\cok(f)] = 0 $$
En general, una secuencia exacta de la forma $0 \a A_1 \xrightarrow{f_1} A_2 \xrightarrow{f_2} \ldots \xrightarrow{f_{n-2}} A_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} A_n \to 0$ tiene la propiedad de que para muchos razonable definiciones de "tamaño", dice $A_i$ tiene $d_i$, se tiene que $$-d_1 + d_2 \mp \ldots + (-1)^{n-1} d_{n-1} + (-1)^n d_n = 0$$
Note que $A_k$ contiene la imagen $\operatorname{im}(f_{k-1})$, con restos de $A_k/\operatorname{im}(f_{k-1}) = A_k/\ker(f_k) \cong \operatorname{im}(f_k)$. Simboliza esta como $$[A_k] = [\im(f_{k-1})] + [\im(f_k)]$$
A veces elegimos (todos menos uno) de los $A_i$ a de ser muy muy bueno, y tratar de entender la izquierda-más de uno, por ejemplo, de $A_k$. Si hemos entendido $[\im(f_{k-1})]$ y $[\im(f_k)]$ directamente, entonces $A_k$ estaría muy bien. Ahora $A_{k-1}$ y $A_{k+1}$ son agradables, pero tal vez las imágenes no son agradables. De modo que podemos escribir:
$$[A_k] = [\im(f_{k-1})] + [\im(f_k)] = -[\im(f_{k-2})] + [A_{k-1}] + [A_{k+1}] - [\im(f_{k+1})]$$
Ahora estos $f_i$ han $i$ más de $k$, y desde nuestra secuencia está delimitado por $0$s, si seguimos empujando lejos, finalmente, las imágenes desaparecen:
$$[A_k] = [\im(f_{k-3})] - [A_{k-2}] + [A_{k-1}] + [A_{k+1}] - [A_{k+2}] + [\im(f_{k+2})]$$
Al final nos acaba de resolver por $[A_k]$ en: $$-[A_1] +[A_2] -[A_3] \pm \ldots + (-1)^{n-1} [A_{n-1}] + (-1)^n [A_n] = 0$$
Por ejemplo, si $A_i$ son finitos abelian grupos y $d_i = \log(|A_i|)$, entonces la fórmula funciona.
Si $A_i$ son finitos dimensionsal espacios vectoriales y $d_i = \dim(A_i)$, entonces la fórmula funciona.
Si $A_i$ vector de paquetes y $d_i$ son funciones continuas que tomar un punto a la dimensión del vector paquete en ese momento, entonces la fórmula se mantiene.
Si $A_i$ son representaciones de grupos finitos y $d_i$ son los personajes, entonces la fórmula se mantiene.
Si $A_i$ son finitos abelian grupos y $|A_i| = \prod p_j^{e_{ij}}$ y $d_i=(e_{i1}, e_{i2}, \ldots)$, entonces la fórmula se mantiene.
¿Por qué tenemos todos estos $A_i$ si ni siquiera entendemos $A_k$?
La respuesta es en realidad bastante fácil: si $a$ y $B$ son muy agradables (digo gratis módulos), y $f:A \B$ (es decir por una matriz), entonces podemos quiere entender $\ker(f)$ y $\cok(f)$. Sin saber muchos detalles de $f$, no podemos adivinar $\ker(f)$ y $\cok(f)$, pero la inclusión-exclusión nos permite calcular si conocemos los otros!
A menudo veo que esta en la que $f$ es dado precisamente para especificar $\cok(f)$, y todo lo que necesitas hacer es averiguar $\ker(f)$. Me va muy bien la etiqueta de cosas como $f:A_{n-2} \A_{n-1}$ y $A_n = \cok(f)$. Así nos encontramos con otro bonito $A_{n-2}$ y un homomorphism $f_{n-2}:A_{n-2} \A_{n-1}$, cuya imagen es exactamente $\ker(f)$. Ahora inclusión exclusión nos dice $A_n = \cok(f)$ tan pronto como nos damos cuenta de lo $\ker(f_{n-2})$ es. Podemos encontrar algunas buenas $A_{n-3}$ y $f_{n-3}:A_{n-3} \A_{n-2}$, cuya imagen es exactamente $\ker(f_{n-2})$ e inclusión-exclusión nos dice sobre $\cok(f)$ si sólo sabemos sobre $\ker(f_{n-3})$.
Si estamos haciendo las cosas de manera que los granos son cada vez más pequeños o más, entonces vamos a tener éxito! Si los granos están empeorando, a continuación, a menudo esto tiene muy poca utilidad.
La respuesta es la misma para muchos abstracciones en matemáticas - nos damos cuenta de algo viene a menudo, y una vez que tenemos un camino claro para describir sólo por sus características esenciales, es más fácil reconocer sus propiedades generales y reconocerlos "en la naturaleza". Uno podría haber preguntado "¿Cuál es el significado intuitivo de que el grupo de axiomas?" y uno podría contestar que no hay ninguna intuición a priori que es fecunda a la lista de tales condiciones para formar un grupo, nuestra intuición proviene de los ejemplos especiales el nuevo concepto se generaliza. Para alguien que no usa a los grupos, sin embargo, podría haber parecido extraño a dar el salto, cuando sólo se podía trabajar con concreto simetría de los grupos, pero hemos visto que la abstracción nos ha ayudado un montón.
Aunque la anterior pregunta se refiere a la pregunta directa de la intuición en el estado exacto de las secuencias, es probable que no ayuda a entender mucho mejor, y estoy adivinando que es lo que quería. Me parece una buena forma de entender construcciones abstractas de objetos es comprender profundamente en sus casos particulares más importantes. Estos dependerán de qué temas se están encontrando exacta de secuencias. Recomiendo la sección 2.10 de Fulton "Curvas Algebraicas" (usted puede hacer la mayoría de las preguntas en la sección, sin saber geometría) para algunos buenos ejemplos básicos.
Vi a una hermosa descripción de lo que es un "libre" de la resolución es que también pueda tener sobre el por qué de la propiedad de la exactitud es muy interesante.
Supongamos que tenemos un grupo abelian, $Un$, con un conjunto de generadores de $X$. A continuación, tenemos una natural mapa de $F[X]\$, que es en donde $F[X]$ es el grupo abelian en $X$. Ese mapa tiene un núcleo, lo que nos indica que las relaciones entre los generadores. Pero que kernel en sí mismo puede no ser libre. Deje de $R_1$ el conjunto de generadores del kernel. A continuación, tenemos una secuencia exacta $F[R_1]\F[X]\a\to 0$.
Podemos seguir adelante, a continuación, obtener una secuencia exacta terminando en $A\to 0$ donde todos los otros grupos son libres y, en cierto sentido, estamos midiendo la "libertad" del conjunto de relaciones de relaciones de relaciones... En particular, el menor de resolución libre de algún tipo de medida de la complejidad de la base del grupo.
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