El grupo de galois de $x^3+3x+1$ de computación

Question

Quiero calcular el grupo de galois del polinomio $x^3+3x+1$ $\mathbb Q$.

Y estoy luchando en la búsqueda de las raíces del polinomio.

Sólo necesito una punta para comenzar con. No es la solución completa de esta tarea.

Gracias :)

Answer 1

¿Cuántas raíces reales tiene? (Utilice el cálculo).

Answer 2

Sugerencia: El grupo de Galois es un subgrupo transitiva de $S_3$ (cortesía de Transitivo de grupo de datos).

Combinar esto con la respuesta que obtienes de pista de los cazadores.

Answer 3

Una de las raíces es

$$\alpha^{\frac{1}{3}}-\alpha^{-\frac{1}{3}}\quad \text{ where }\quad \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

En general, $x^3 + 3px + 2q = 0$ tenemos la raíz real (seguramente hay al menos uno) de

$$\alpha^{\frac{1}{3}}-p\alpha^{-\frac{1}{3}}\quad\text{ for }\quad\alpha = \sqrt{p^3+q^2}-q.$$

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$